Kurvenlängen bzw. Bogenlängen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 So 30.01.2005 | | Autor: | ironhill |
Moin moin,
ich habe 2 Aufgaben bei denne ich die Kurvenlängen bzw. Bogenlängen berechnen soll. Jedoch bekomme ich bei beiden keine rechte Lösung wie Sie im Lösungsheft steht:
1.) Berechnen Sie die Bogenlänge der Kurve y=4,2*ln [mm] x^3 [/mm] im Intervall [1;e)
2.) Bestimmen Sie die Länge des Kurvenstückes, das von der Kurve [mm] y^2=4/9*(2-x)^3 [/mm] durch die Gerade x=-1 abgeschnitten wird.
Zur Lösunge gibt es folgende Formel:
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {wurzel( 1+ [mm] (f'(x))^2 [/mm] ) dx}
Wäre über jeden Lösungsansatz dankbar!
Gruß Jan.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000003717&kat=Studium&
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?p=73893#73893
http://www.emath.de/Mathe-Board/messages/8/13519.html?1107075920
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=12638&sid=264f0be5bceb45ce98decd0fd032edaa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 So 30.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bei der ersten Aufgabe seh ich deine Schwierigkeit nicht. differenziere, setze ein, schreib es so, dass unter der Wurzel kein Bruch mehr steht, integriere, und fertig!
2. Bestimme die Schnittstellen oder plotte und sieh es dir an, dann siehst du, was du machen kannst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 So 30.01.2005 | | Autor: | ironhill |
Hallo,
also bezüglich der [mm] y^2=4/9*(2-x)^3 [/mm] hat sich meine Vermutung bestätigt, das es sich bei dem Graph um zwei geteilte Graphen handelt die beide die x Achse bei 2 treffen. Meine Lösung war auch genau die Hälfte von der im Lösungsheft. Ich habe ja auch nur die Kurvenlänge des einen Graphens errechnet.
Jedoch macht mir die [mm] y=4,2*ln(x)^3 [/mm] mehr Kopfschmerzen.
Die 1. Ableitung ist doch f'(x) = 4,2 * (3/x) = 12,6/x
Dadurch ergibt sich das Integral von 1 bis e von:
sqr( 1 + [mm] (12,6/x)^2 [/mm] ) = sqr( 1 + [mm] (158,6/x^2) [/mm] )
Jedoch komme ich nun nicht weiter, also sprich, ich habe keine Ansatz auf welche Weise ich Integrieren soll. Die Wurzel ist das Hauptproblem. Bitte um Hilfe.
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Hallo,
schreibe das Integral erstmal so:
[mm]\int {\sqrt {1 + \frac{{158,6}}
{{x^2 }}} \;dx\; = \;\int {\frac{{\sqrt {x^2 \; + \;158,6} }}
{x}\;dx} } [/mm]
Die Substitution
[mm]\begin{gathered}
x\; = \;12,6\;\sinh \left( u \right) \hfill \\
dx\; = \;12,6\;\cosh \left( u \right)\;du \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
führt dann auf einen rationalen Ausdruck:
[mm]
\int {R\left( {\sinh (u),\;\cosh (u),\;\tanh (u),\;\coth (u)} \right)\;du} [/mm]
welcher durch die Substitution
[mm]\begin{gathered}
\tanh \left( {\frac{u}
{2}} \right)\; = \;t \hfill \\
du\; = \;\frac{2}
{{1\; - \;t^2 }}\;dt \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
übergeht in
[mm]\int {R\left( {\frac{{2t}}
{{1\; - \;t^2 }},\;\frac{{1\; + \;t^2 }}
{{1\; - \;t^2 }},\;\frac{{2t}}
{{1\; + \;t^2 }},\;\frac{{1\; + \;t^2 }}
{{2t}}} \right)\;dt} [/mm]
Dieser Ausdruck kann dann durch eine geeignete Partialbruchzerlegung berechnet werden.
Gruß
MathePower
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