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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Kurvenintegral berechnen
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Kurvenintegral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:22 Fr 29.05.2009
Autor: tynia

Aufgabe
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin^{2n}(t) dt} [/mm]

Hallo. Ich habe hier die Lösung für die Aufgabe. Ich schreibe die jetzt mal hier hin und markiere das, was ich nicht verstehe rot. Vielleicht kann mir das hier jemand erklären. Danke schonmal

[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin^{2n}(t) dt} [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{2\pi}{(\bruch{(e^{it}-e^{-it}}{2i})^{2n} dt} [/mm]

Ab hier verstehe ich nix mehr. Ich weiß, ist schon ein bißchen wenig was ich weiß, aber deshalb bin ich auch hier

[mm] =\integral_{0}^{2\pi}{(\bruch{z-\bruch{1}{z}}{2i}})^{2n}* \bruch{iz}{iz} [/mm] dt
[mm] =\integral_{\gamma}^{ }{(\bruch{z-\bruch{1}{z}}{2i}})^{2n}*\bruch{1}{iz}dz [/mm]
[mm] =\bruch{1}{i}(\bruch{1}{2i})^{2n}\integral_{\gamma}^{ }{\bruch{1}{z}(z-\bruch{1}{z})^{2n} dz} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{i}(\bruch{1}{2i})^{2n}\integral_{\gamma}^{ }{\bruch{1}{z}\summe_{k=0}^{2n}\vektor{2n\\ k}z^{2n-k}(\bruch{1}{z})^{k} dz} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{i}(\bruch{1}{2i})^{2n}\integral_{\gamma}^{ }{\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{2n\\ k}z^{2n-2k-1}dz} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{i}(\bruch{1}{2i})^{2n}(-1)^{n}\vektor{2n\\ n}2i\pi [/mm]
= [mm] (\bruch{1}{2})^{2n}(\bruch{1}{i^{2}})^{n}(-1)^{n}\vektor{2n\\ n}2\pi [/mm]
= [mm] \bruch{1}{2^{2n-1}}\vektor{2n\\ n}\pi [/mm]

[verwirrt] [keineahnung] [verwirrt] [keineahnung][verwirrt] [keineahnung][verwirrt] [keineahnung][verwirrt] [keineahnung][verwirrt] [keineahnung]

Brauche wirklich Hilfe. Danke schonmal

LG
        
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:55 Fr 29.05.2009
Autor: MathePower

Hallo tynia,

> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin^{2n}(t) dt}[/mm]
>  Hallo. Ich habe hier
> die Lösung für die Aufgabe. Ich schreibe die jetzt mal hier
> hin und markiere das, was ich nicht verstehe rot.
> Vielleicht kann mir das hier jemand erklären. Danke
> schonmal
>  
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin^{2n}(t) dt}[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{0}^{2\pi}{(\bruch{(e^{it}-e^{-it}}{2i})^{2n} dt}[/mm]
>  
> Ab hier verstehe ich nix mehr. Ich weiß, ist schon ein
> bißchen wenig was ich weiß, aber deshalb bin ich auch hier
>  
> [mm]=\integral_{0}^{2\pi}{(\bruch{z-\bruch{1}{z}}{2i}})^{2n}* \bruch{iz}{iz}[/mm]
> dt
> [mm]=\integral_{\gamma}^{ }{(\bruch{z-\bruch{1}{z}}{2i}})^{2n}*\bruch{1}{iz}dz[/mm]


Zunächst wurde hier [mm]z=e^{it}[/mm] substituiert.


> [mm]=\bruch{1}{i}(\bruch{1}{2i})^{2n}\integral_{\gamma}^{ }{\bruch{1}{z}(z-\bruch{1}{z})^{2n} dz}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1}{i}(\bruch{1}{2i})^{2n}\integral_{\gamma}^{ }{\bruch{1}{z}\summe_{k=0}^{2n}\vektor{2n\\ k}z^{2n-k}(\bruch{1}{z})^{k} dz}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1}{i}(\bruch{1}{2i})^{2n}\integral_{\gamma}^{ }{\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{2n\\ k}z^{2n-2k-1}dz}[/mm]


Hier muss es doch auch heissen

[mm]=\bruch{1}{i}(\bruch{1}{2i})^{2n}\integral_{\gamma}^{ }{\summe_{k=0}^{\red{2}n}(-1)^{k}\vektor{2n\\ k}z^{2n-2k-1}dz}[/mm]

Von diesem Schritt zum nächsten Schritt wurden hier mehrere Zwischenschritte weggelassen.

Obiges Integral ergibt zunächst:

[mm]=\bruch{1}{i}(\bruch{1}{2i})^{2n} ¸\left( \left( \ \summe_{k=0, \ k \not=n}^{2n}(-1)^{k}\vektor{2n\\ k}\bruch{1}{2n-2k}z^{2n-2k} \right) + (-1)^{n}\vektor{2n\\ n}*\ln\left(z\right) \right)[/mm]

Setzen wir hier [mm]z=e^{it}[/mm] mit [mm]t \in \left[0,2\pi \right][/mm] ein,
so verschwindet die Summe und es bleibt stehen:

[mm]=\bruch{1}{i}(\bruch{1}{2i})^{2n} ¸ (-1)^{n}\vektor{2n\\ n}*\left[\ln\left(e^{it}\right) \right]_{0}^{2\pi}[/mm]


[mm]=\bruch{1}{i}(\bruch{1}{2i})^{2n} ¸ (-1)^{n}\vektor{2n\\ n}*\left[it \right]_{0}^{2\pi}[/mm]

[mm]=\bruch{1}{i}(\bruch{1}{2i})^{2n} ¸ (-1)^{n}\vektor{2n\\ n}*i*2\pi[/mm]

Ich hoffe, das hilft Dir erst einmal.


>  
> = [mm]\bruch{1}{i}(\bruch{1}{2i})^{2n}(-1)^{n}\vektor{2n\\ n}2i\pi[/mm]
>  
> =
> [mm](\bruch{1}{2})^{2n}(\bruch{1}{i^{2}})^{n}(-1)^{n}\vektor{2n\\ n}2\pi[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{1}{2^{2n-1}}\vektor{2n\\ n}\pi[/mm]
>  
> [verwirrt] [keineahnung] [verwirrt] [keineahnung][verwirrt]
> [keineahnung][verwirrt] [keineahnung][verwirrt]
> [keineahnung][verwirrt] [keineahnung]
>  
> Brauche wirklich Hilfe. Danke schonmal
>  
> LG


Gruß
MathePower
Bezug
                
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:18 Sa 30.05.2009
Autor: tynia

Danke erstmal für deine Antwort. Ich werde mir das später mal angucken, weil ich jetzt keine Zeit habe, und mich dann später vielleicht nochmal melden, wenn ich noch weitere Fragen habe.

LG
Bezug
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