Kurvenintegral, Satz von Green < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:31 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Blubie |
Hallo, ich habe eine Funktion f: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2, (x,y)^{T} [/mm] |-> [mm] (x^2 [/mm] - [mm] y^2, [/mm] x - [mm] y)^{T} [/mm] sowie die Menge [mm] M=\{(x,y)^{T} \in \IR^2 | x^2 + y^2 <= 1\} [/mm] und y sei der positiv orientierte Rand von M. Ich soll nun das Kurvenintegral
[mm] \integral_{y}^{}{f} [/mm] berechnen.
Es müsste ja, wenn ich den Satz von Green anwende, dasselbe rauskommen, als wenn ich das Kurvenintegral mit der Definition berechne. Der satz von Green liefert hier bei mir 0.
Mit der Definition ergibt sich [mm] \integral_{0}^{2*\pi}{(cos^2(t) - sin^2(t), cos(t) - sin(t))*(-sin(t),cos(t))^{T} dt}, [/mm] was schlussendlich PI ergibt (von Wolfram-Alpha bestätigt). Die Kurve ist ja nichts anderes als ein Kreis also
[mm] y:[0;2*\pi], [/mm] t |-> [mm] (cos(t),sin(t))^{T}
[/mm]
Wieso kommen hier verschiedene Werte heraus? Wo liegt mein Denkfehler?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:40 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, ich habe eine Funktion f: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^2, (x,y)^{T}[/mm]
> |-> [mm](x^2[/mm] - [mm]y^2,[/mm] x - [mm]y)^{T}[/mm] sowie die Menge [mm]M=\{(x,y)^{T} \in \IR^2 | x^2 + y^2 <= 1\}[/mm]
> und y
schreibe besser: [mm] $\gamma$
[/mm]
> sei der positiv orientierte Rand von M. Ich soll nun
> das Kurvenintegral
>
> [mm]\integral_{y}^{}{f}[/mm] berechnen.
Hier auch [mm] $\integral_\gamma [/mm] f$!
>
> Es müsste ja, wenn ich den Satz von Green anwende,
> dasselbe rauskommen, als wenn ich das Kurvenintegral mit
> der Definition berechne. Der satz von Green liefert hier
> bei mir 0.
>
> Mit der Definition ergibt sich
> [mm]\integral_{0}^{2*\pi}{(cos^2(t) - sin^2(t), cos(t) - sin(t))*(-sin(t),cos(t))^{T} dt},[/mm]
> was schlussendlich PI ergibt (von Wolfram-Alpha
> bestätigt). Die Kurve ist ja nichts anderes als ein Kreis
> also
>
> [mm]y:[0;2*\pi],[/mm] t |-> [mm](cos(t),sin(t))^{T}[/mm]
>
> Wieso kommen hier verschiedene Werte heraus? Wo liegt mein
> Denkfehler?
Bitte mal vorrechnen, wie Du den Satz von Green angewendet hast! Also: Wie hast Du [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,$ [/mm] (![[]](/images/popup.gif) Wiki: Satz von Green) definiert?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:16 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Blubie |
Mit dem Satz von Green erhalte ich das Integral
[mm] \integral_{-1}^{1}\integral_{-\wurzel{1-x^2}}^{\wurzel{1-x^2}}{1+2y dydx}
[/mm]
= [mm] 2*\integral_{-1}^{1}{1-x^2 dx}
[/mm]
= 4.
Tut mir leid, ich habe mich verrechnet. Es ergibt also 4 und nicht 0. Trotzdem stimmt das nicht mit der Zahl Pi aus der Definitionsrechnung überein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Mit dem Satz von Green erhalte ich das Integral
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}\integral_{-\wurzel{1-x^2}}^{\wurzel{1-x^2}}{1+2y dydx}[/mm]
>
> = [mm]2*\integral_{-1}^{1}{1-x^2 dx}[/mm]
Das stimmt nicht !!!
FRED
> = 4.
>
> Tut mir leid, ich habe mich verrechnet. Es ergibt also 4
> und nicht 0. Trotzdem stimmt das nicht mit der Zahl Pi aus
> der Definitionsrechnung überein.
|
|
|
|
