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| Aufgabe | | Berechne [mm] \integral_{|z-1|=1}{(\bruch{z}{z-1})^{n} dz} [/mm] |
Hallo,
Ich möchte dies gerne mit der Cauchy-Integralformel lösen, um diese mal angewendet zu haben.
Dazu muss ich mir ja eine Funktion f überlegen, dass gilt [mm] \bruch{f(z)}{z-w}=(\bruch{z}{z-1})^{n} [/mm] mit passendem w (und den anderen Bedingungen)
Die Integralformel sieht im Allgemeinen so aus:
[mm] 2\pi [/mm] i f(w) = [mm] \integral_{|z-z_{0}|=r}{(\bruch{z}{z-w})^{n} dw} [/mm] f.a. [mm] w\in K(z_{0},r)
[/mm]
mit f: [mm] \Omega \rightarrow \IC [/mm] und [mm] \overline{K} (z_{0},r) \subseteq \Omega
[/mm]
D.h. bei mir ist r=1, [mm] z_{0}=1 [/mm] und somit brauche ich schon mal ein [mm] w\in [/mm] K(1,1) richtig?
und ich brauche ein [mm] \Omega, [/mm] welches die 1 enthält - da [mm] \overline{K} [/mm] (1,1) [mm] \subseteq \Omega [/mm] . Dann finde ich aber keine Funktion die vernünftig definiert ist, da ich immer unterm Bruchstrich (z-1) stehen habe....
Kann mir jemand den Trick verraten?
Diesmal würde mir sogar einfach eine Angabe der Funktion helfen denke ich.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechne [mm]\integral_{|z-1|=1}{(\bruch{z}{z-1})^{n} dz}[/mm]
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> Hallo,
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> Ich möchte dies gerne mit der Cauchy-Integralformel
> lösen, um diese mal angewendet zu haben.
> Dazu muss ich mir ja eine Funktion f überlegen, dass gilt
> [mm]\bruch{f(z)}{z-w}=(\bruch{z}{z-1})^{n}[/mm] mit passendem w (und
> den anderen Bedingungen)
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> Die Integralformel sieht im Allgemeinen so aus:
> [mm]2\pi[/mm] i f(w) = [mm]\integral_{|z-z_{0}|=r}{(\bruch{z}{z-w})^{n} dw}[/mm]
> f.a. [mm]w\in K(z_{0},r)[/mm]
> mit f: [mm]\Omega \rightarrow \IC[/mm] und
> [mm]\overline{K} (z_{0},r) \subseteq \Omega[/mm]
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> D.h. bei mir ist r=1, [mm]z_{0}=1[/mm] und somit brauche ich schon
> mal ein [mm]w\in[/mm] K(1,1) richtig?
> und ich brauche ein [mm]\Omega,[/mm] welches die 1 enthält - da
> [mm]\overline{K}[/mm] (1,1) [mm]\subseteq \Omega[/mm] . Dann finde ich aber
> keine Funktion die vernünftig definiert ist, da ich immer
> unterm Bruchstrich (z-1) stehen habe....
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> Kann mir jemand den Trick verraten?
Gerne: setze [mm] $f(z)=z^n$ [/mm] und benutze die Cauchysche Integralformel für die Ableitung [mm] f^{(n-1)}(1)
[/mm]
Wenn ich mich nicht verrechnet habe ist der Wert des gesuchten Integrals = $2 [mm] \pi [/mm] i$
Edit: ich sehe gerade, dass ich mich gestern vertippt habe. Der Wert des Integrals ist
$2 [mm] \pi [/mm] i*n$
FRED
> Diesmal würde mir sogar einfach eine Angabe der Funktion
> helfen denke ich.
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> Gruß
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Aha, interessant...danke.
[mm] 2\pi [/mm] i habe ich raus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Do 24.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechne [mm]\integral_{|z-1|=1}{(\bruch{z}{z-1})^{n} dz}[/mm]
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> Hallo,
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> Ich möchte dies gerne mit der Cauchy-Integralformel
> lösen, um diese mal angewendet zu haben.
> Dazu muss ich mir ja eine Funktion f überlegen, dass gilt
> [mm]\bruch{f(z)}{z-w}=(\bruch{z}{z-1})^{n}[/mm] mit passendem w (und
> den anderen Bedingungen)
>
> Die Integralformel sieht im Allgemeinen so aus:
> [mm]2\pi[/mm] i f(w) = [mm]\integral_{|z-z_{0}|=r}{(\bruch{z}{z-w})^{n} dw}[/mm]
> f.a. [mm]w\in K(z_{0},r)[/mm]
> mit f: [mm]\Omega \rightarrow \IC[/mm] und
> [mm]\overline{K} (z_{0},r) \subseteq \Omega[/mm]
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> D.h. bei mir ist r=1, [mm]z_{0}=1[/mm] und somit brauche ich schon
> mal ein [mm]w\in[/mm] K(1,1) richtig?
> und ich brauche ein [mm]\Omega,[/mm] welches die 1 enthält - da
> [mm]\overline{K}[/mm] (1,1) [mm]\subseteq \Omega[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
. Dann finde ich aber
> keine Funktion die vernünftig definiert ist, da ich immer
> unterm Bruchstrich (z-1) stehen habe....
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> Kann mir jemand den Trick verraten?
> Diesmal würde mir sogar einfach eine Angabe der Funktion
> helfen denke ich.
>
> Gruß
>
1. Gestern habe ich mich in meiner obigen Antwort vertippt: der Wert des gesuchten Integrals ist nicht $2 \pi i$ sondern $2 \pi i*n$.
2. Es geht auch ganz elementar:
Wir setzen $f(z):=(\bruch{z}{z-1})^n$ und bemühen den binomischen Satz:
$f(z)= (\bruch{z-1+1}{z-1})^n= (1+\bruch{1}{z-1})^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}\bruch{1}{(z-1)^k}$
Für $k \in \{0,1,2,..,n\} \setminus \{1\} $ ist $ \integral_{|z-1|=1}\bruch{1}{(z-1)^k} dz} =0$, denn \bruch{1}{(z-1)^k} besitzt auf $ \IC \setminus \{1\}$ eine Stammfunktion. somit ist
$ \integral_{|z-1|=1}{f(z)dz} = \vektor{n \\ 1}* \integral_{|z-1|=1}\bruch{1}{z-1} dz} =n* 2 \pi i$
FRED
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