Kurvenintegral - Rechenregeln < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für Kurvenintegrale erster Art (das heißt für Skalarfelder) gelten folgende rechenregel
Linearität: [mm] \integral_{\gamma}{\alpha*f+\beta*g ds}=\alpha*\integral_{\gamma}{f ds}+\beta*\integral_{\gamma}{g ds}
[/mm]
Additivität: [mm] \integral_{\gamma_1+\gamma_2}{f ds}=\integral_{\gamma_1}{f ds}+\integral_{\gamma_2}{f ds}
[/mm]
keine Orientierung: [mm] \integral_{\gamma}{f ds}=\integral_{-\gamma}{f ds}, [/mm] wobei [mm] -\gamma [/mm] die Kurve ist, die in umgekehrter Richtung durchlaufen wird
Gelten diese 3 Regeln auch für Kurvenintegrale 2. Art (das heißt für Vektorfelder) ? |
Soweit ich weiß gelten die ersten beiden Regeln (Linearität und Addivität) auch für die eindimensionale Integralrechnung, d.h. für
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] mit [mm] [a,b]\subset\IR [/mm] und [mm] f:[a,b]\to\IR
[/mm]
ich glaube aber die dritte Regel gilt nicht.
Wie sieht es aber mit Kurvenintegrale 2. Art aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Di 06.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Für Kurvenintegrale erster Art (das heißt für
> Skalarfelder) gelten folgende rechenregel
>
> Linearität: [mm]\integral_{\gamma}{\alpha*f+\beta*g ds}=\alpha*\integral_{\gamma}{f ds}+\beta*\integral_{\gamma}{g ds}[/mm]
>
> Additivität: [mm]\integral_{\gamma_1+\gamma_2}{f ds}=\integral_{\gamma_1}{f ds}+\integral_{\gamma_2}{f ds}[/mm]
>
> keine Orientierung: [mm]\integral_{\gamma}{f ds}=\integral_{-\gamma}{f ds},[/mm]
> wobei [mm]-\gamma[/mm] die Kurve ist, die in umgekehrter Richtung
> durchlaufen wird
>
> Gelten diese 3 Regeln auch für Kurvenintegrale 2. Art (das
> heißt für Vektorfelder) ?
> Soweit ich weiß gelten die ersten beiden Regeln
> (Linearität und Addivität) auch für die eindimensionale
> Integralrechnung, d.h. für
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] mit [mm][a,b]\subset\IR[/mm] und
> [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm]
>
> ich glaube aber die dritte Regel gilt nicht.
Für integrierbare Funktionen [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] gilt natürlich die erste Regel (Linearität).
Die Additivität formuliert man so: ist a<c<b, so ist
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\integral_{a}^{c}{f(x) dx}+\integral_{c}^{b}{f(x) dx}.
[/mm]
Die 3. Regel lautet:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=-\integral_{b}^{a}{f(x) dx}.
[/mm]
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> Wie sieht es aber mit Kurvenintegrale 2. Art aus?
So, wobei die beteilgten Funktionen Vektorfelder sind:
Linearität: $ [mm] \integral_{\gamma}{(\alpha\cdot{}f+\beta\cdot{}g)* dx}=\alpha\cdot{}\integral_{\gamma}{f *dx}+\beta\cdot{}\integral_{\gamma}{g *dx} [/mm] $
Additivität: $ [mm] \integral_{\gamma_1+\gamma_2}{f *dx}=\integral_{\gamma_1}{f *dx}+\integral_{\gamma_2}{f *dx} [/mm] $
Orientierung: $ [mm] \integral_{\gamma}{f *dx}=-\integral_{-\gamma}{f *dx}. [/mm] $
FRED
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