Kurvenintegral - Aufgabe < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche Länge hat die Kurve, die ein fester Punkt auf einem Fahrradreifen mit Radius r zurücklegt, wenn der Reifen eine volle Umdrehung macht?
a) Leiten Sie her, dass sich die Kurve durch diese Parametrisierung beschreiben lässt:
[mm] \gamma(t)=r\vektor{t-sin(t) \\ 1-cos(t)}, 0\le t\le2\pi
[/mm]
b) berechnen Sie die Kurvenlänge
Hinweis zur Integration: [mm] cost=1-2sin^2(\bruch{t}{2}) [/mm] |
a)
Ich hätte die Kurve durch folgende Parametrisierung beschrieben:
[mm] \gamma(t)=r\vektor{cos(t) \\ sin(t)}, 0\le t\le 2\pi
[/mm]
Ich soll aber nun zeigen, das die Parametrisierung
[mm] \gamma(t)=r\vektor{t-sin(t) \\ 1-cos(t)}, 0\le t\le2\pi
[/mm]
auch die kurve beschreibt.
für die y-komponente gilt 1-cos(t)=sin(t)
für [mm] 0\le t\le2\pi [/mm] durch läuft die y-komponente eine umdrehung
aber es gilt nicht cos(t)=t-sin(t)
wie zeige ich das die Parametrisierung die Kurve beschreibt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Do 15.10.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Rebellismus,
da haben wir ja das schöne Thema Zykloide. 
Die Kurve durch die von dir gewählte Parametrisierung zu beschreiben ist falsch. Du kannst dich gerne ![[]](/images/popup.gif) mit diesem Programm davon überzeugen, dass es sich um einen einfachen Kreis mit Radius $r$ handelt, den du beschrieben hast.
$$ [mm] \gamma(t)=r\vektor{t-sin(t) \\ 1-cos(t)}, 0\le t\le2\pi [/mm] $$
ist die korrekte Parametrisierung.
Wie kommt man darauf?
Dreht sich der Reifen einmal vollständig, dann hat der Punkt auf dem Reifen genau den Umfang des Kreises hinter sich gebracht. Drehen wir also um $t = [mm] 2\pi$, [/mm] hat der Punkt einen Weg von [mm] $2\pi [/mm] r$ überwunden. Für einen allgemeinen Winkel $t$, erhält man also eine Länge von $t r$.
Jetzt müssen wir Punkte der Form $P=(a,b)$ als Funktion von $t$ und $r$ ausdrücken. Wir betrachten solch einen allgemeinen Punkt $P$. Der Reifen hat sich etwas bewegt und sein Mittelpunkt ist daher etwas verschoben, d.h. $M=(c,r)$. Der Punkt $P$ kann auch durch die x-Koordinate $a=c-(c-a)$ beschrieben werden. Das hat den Vorteil, dass wir $c$ und $c-a$ leicht berechnen können.
$c$ ist die bisher abgerollte Strecke des Reifens. Mit obigen Überlegungen folgt $c=tr$.
Betrachten wir das Dreieck gebildet durch die Punkte $P$, $M$ und einen Hilfpunkt $H = (c,b)$, s.d. bei $H$ ein rechter Winkel ist, so lässt sich die Definition des vermöge [mm] $\sin(t) [/mm] = [mm] \frac{c-a}{r}(\gdw [/mm] c-a = r [mm] \sin(t))$ [/mm] anwenden.
Daraus folgt die x-Koordinate $x=rt-r [mm] \sin(t)=r(t-\sin(t))$.
[/mm]
$y$ folgt analog. Wir betrachten dasselbe Dreieck [mm] $\Delta [/mm] MHP$. Wir suchen einen Ausdruck für $y = b = r-(r-b)$. Auf $r-b$ kann man wieder Trigonometrie anwenden, sprich [mm] $\cos(t) =\frac{r-b}{r}\gdw [/mm] r-b = [mm] r\cos(t)$.
[/mm]
Wir erhalten insgesamt [mm] $y=r-r\cos(t)=r(1-\cos(t))$.
[/mm]
Wenn man es sich aufmalt ist das ganze recht einfach.
MfG
Ladon
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[mm] \gamma'(t)=r\vektor{1-cost \\ sint}
[/mm]
Es gilt:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\gamma'(t)|dt}
[/mm]
[mm] |\gamma'(t)|=r*\wurzel{(1-cos(t))^2+sin^2(t)}=r*\wurzel{1-2cos(t)+cos^2(t)+sin^2(t)}=r*\wurzel{2-2cos(t)}=\wurzel{2}r\wurzel{1-cos(t)}
[/mm]
Wie löse ich nun das folgende integral:
[mm] \wurzel{2}r\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1-cos(t)} dt}
[/mm]
?
also ich hätte es mithilfe der Kettenregel gelöst. Die innere Ableitung von [mm] |\gamma'(t)|=\wurzel{2}r\wurzel{1-cos(t)} [/mm] ist sin(t)
also nehme ich fürs itnergeiren einfach den Kehrwert:
[mm] \wurzel{2}r\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1-cos(t)} dt}=\wurzel{2}r[\bruch{2}{3}*(1-cos(t))^{\bruch{3}{2}}*\bruch{1}{sin(t)}]_{0}^{2\pi}
[/mm]
ist das so richtig?
Ich wüsste jetzt nicht wo ich den Hinweis in der Aufgabenstellung benutzen soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Do 15.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\gamma'(t)=r\vektor{1-cost \\ sint}[/mm]
>
> Es gilt:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\gamma'(t)|dt}[/mm]
>
> [mm]|\gamma'(t)|=r*\wurzel{(1-cos(t))^2+sin^2(t)}=r*\wurzel{1-2cos(t)+cos^2(t)+sin^2(t)}=r*\wurzel{2-2cos(t)}=\wurzel{2}r\wurzel{1-cos(t)}[/mm]
>
> Wie löse ich nun das folgende integral:
>
> [mm]\wurzel{2}r\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1-cos(t)} dt}[/mm]
>
> ?
>
> also ich hätte es mithilfe der Kettenregel gelöst. Die
> innere Ableitung von
> [mm]|\gamma'(t)|=\wurzel{2}r\wurzel{1-cos(t)}[/mm] ist sin(t)
>
> also nehme ich fürs itnergeiren einfach den Kehrwert:
>
> [mm]\wurzel{2}r\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1-cos(t)} dt}=\wurzel{2}r[\bruch{2}{3}*(1-cos(t))^{\bruch{3}{2}}*\bruch{1}{sin(t)}]_{0}^{2\pi}[/mm]
>
> ist das so richtig?
Nein,das ist völliger Unsinn
>
> Ich wüsste jetzt nicht wo ich den Hinweis in der
> Aufgabenstellung benutzen soll.
Nach Hinweis ist [mm] $\wurzel{1-cos(t)}=\wurzel{2}*|sin(t/2)|$
[/mm]
Berechne damit das Integral [mm]\wurzel{2}r\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1-cos(t)} dt}[/mm]
Fred
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> [mm]\gamma'(t)=r\vektor{1-cost \\ sint}[/mm]
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> Es gilt:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\gamma'(t)|dt}[/mm]
>
> [mm]|\gamma'(t)|=r*\wurzel{(1-cos(t))^2+sin^2(t)}=r*\wurzel{1-2cos(t)+cos^2(t)+sin^2(t)}=r*\wurzel{2-2cos(t)}=\wurzel{2}r\wurzel{1-cos(t)}[/mm]
>
> Wie löse ich nun das folgende integral:
>
> [mm]\wurzel{2}r\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1-cos(t)} dt}[/mm]
>
> ?
>
> also ich hätte es mithilfe der Kettenregel gelöst. Die
> innere Ableitung von
> [mm]|\gamma'(t)|=\wurzel{2}r\wurzel{1-cos(t)}[/mm] ist sin(t)
>
> also nehme ich fürs itnergeiren einfach den Kehrwert:
>
> [mm]\wurzel{2}r\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1-cos(t)} dt}=\wurzel{2}r[\bruch{2}{3}*(1-cos(t))^{\bruch{3}{2}}*\bruch{1}{sin(t)}]_{0}^{2\pi}[/mm]
>
> ist das so richtig?
Oberster Regel in der Analysis: Differenzieren kann man alles, integrieren nix!
Du kannst mit Hilfe der Differenzialrechnung sofort feststellen, ob du das Integral richtig gelöst hast:
[mm] [\wurzel{2}r[\bruch{2}{3}*(1-cos(t))^{\bruch{3}{2}}*\bruch{1}{sin(t)}]]' [/mm] = [mm] \wurzel{2}r*\bruch{2}{3}*[\bruch{3}{2}*(1-cos(t))^{\bruch{1}{2}*}\bruch{1}{sin(t)}+(1-cos(t))^{\bruch{3}{2}}*\bruch{cos(t)}{sin^2(t)}] [/mm] (PRODUKTREGEL!)
und das sieht gar nicht aus wie [mm] \wurzel{2}r*\wurzel{1-cos(t)}.
[/mm]
Wo steckt der Fehler?
Eine Substitution solltest du immer ganz genau aufschreiben:
x=1-cos(t) also: [mm] \bruch{dx}{dt}=sin(t) [/mm] und damit [mm] dt=\bruch{dx}{sin(t)}
[/mm]
[mm] \wurzel{2}r\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1-cos(t)} dt}=\wurzel{2}r\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{x} \bruch{dx}{sin(t)}}=...
[/mm]
So, jetzt sollst du nach x integrieren, und das hast du auch getan, aber nicht berücksichtigt, dass sin(t) keine konstante ist, sondern von x abhängt. Bevor du integrierst, musst du alle Funktionen, die in irgendeiner Weise von x abhängen, erst mal durch x ausdrücken; dann kannst du erst integrieren. Hier:
[mm] sin(t)=\wurzel{1-cos^2(t)}=\wurzel{1-(1-x)^2}=\wurzel{2x-x^2}, [/mm] und damit geht es weiter mit
[mm] ...=\wurzel{2}r\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{x} *\bruch{dx}{\wurzel{2x-x^2}}}=\wurzel{2}r\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{dx}{\wurzel{2-x}}}=???
[/mm]
und jetzt wieder die Regel: Integrieren kann man nix!
(geht nur durch Probieren, Erfahrung usw., und deshalb hat der Prof dir das Integral angegeben)
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> Ich wüsste jetzt nicht wo ich den Hinweis in der
> Aufgabenstellung benutzen soll.
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