Kurvenintegral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 So 12.06.2011 | | Autor: | Autist |
| Aufgabe | Zeige für [mm] a\in\IC,[/mm] [mm]r>0[/mm] und [mm] n\in\IZ:
[/mm]
[mm] \integral_{\partial B_{r}(a)}^{}{(z-a)^{n} dz}=\begin{cases} i2\pi, & \mbox{für } n =\mbox{-1} \\ 0, & \mbox{sonst }\end{cases} [/mm] |
[mm] \partial B_{r}(a) [/mm] ist hier der Rand des Einheitskreises um [mm] a\in\IC [/mm] mit Radius r>0.
Also: [mm] \partial B_{r}(a) [/mm] = [mm] \{a + re^{it} : t\in [0,2\pi]\}
[/mm]
Da wir gerade mit der Cauchy-Integralformel arbeiten, wird das wohl der Schlüssel dieses Integrals sein.
Den Punkt n=-1 kann man sich erstmal leicht abarbeiten:
[mm] \integral_{\partial B_{r}(a)}^{}{\bruch{1}{(z-a)} dz} [/mm] = [mm] i2\pi
[/mm]
Hier habe ich die Cauchy-Integralformel mit der holomorphen Funktion [mm] f\equiv1 [/mm] am Punkt a angewandt.
[mm] \Rightarrow f(a)=\bruch{1}{i2\pi}*\integral_{\partial B_{r}(a)}^{}{\bruch{f(z)}{(z-a)} dz}
[/mm]
Jetzt ist die Frage, wie ich den Rest abarbeite.
Ich hab mich zuerstmal mit n < -1 beschäftigt, weil die am problematischsten sind wegen dem entstehenden singulären Punkt a im Integrand. Vorallem bin ich mir nicht im Klaren, wie man die Eigenschaft, dass a komplex ist, irgendwo einbauen soll.
Wäre super, wenn mir da jemand helfen könnte!
MfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 So 12.06.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Zeige für [mm]a\in\IC,[/mm] [mm]r>0[/mm] und [mm]n\in\IZ:[/mm]
> [mm]\integral_{\partial B_{r}(a)}^{}{(z-a)^{n} dz}=\begin{cases} i2\pi, & \mbox{für } n =\mbox{-1} \\ 0, & \mbox{sonst }\end{cases}[/mm]
>
> [mm]\partial B_{r}(a)[/mm] ist hier der Rand des Einheitskreises um
> [mm]a\in\IC[/mm] mit Radius r>0.
> Also: [mm]\partial B_{r}(a)[/mm] = [mm]\{a + re^{it} : t\in [0,2\pi]\}[/mm]
>
> Da wir gerade mit der Cauchy-Integralformel arbeiten, wird
> das wohl der Schlüssel dieses Integrals sein.
>
> Den Punkt n=-1 kann man sich erstmal leicht abarbeiten:
>
> [mm]\integral_{\partial B_{r}(a)}^{}{\bruch{1}{(z-a)} dz}[/mm] =
> [mm]i2\pi[/mm]
> Hier habe ich die Cauchy-Integralformel mit der
> holomorphen Funktion [mm]f\equiv1[/mm] am Punkt a angewandt.
> [mm]\Rightarrow f(a)=\bruch{1}{i2\pi}*\integral_{\partial B_{r}(a)}^{}{\bruch{f(z)}{(z-a)} dz}[/mm]
>
> Jetzt ist die Frage, wie ich den Rest abarbeite.
> Ich hab mich zuerstmal mit n < -1 beschäftigt, weil die
> am problematischsten sind wegen dem entstehenden
> singulären Punkt a im Integrand. Vorallem bin ich mir
> nicht im Klaren, wie man die Eigenschaft, dass a komplex
> ist, irgendwo einbauen soll.
Habt ihr schon die allgemeinere Form der Cauchyschen Integralformel gehabt:
[mm] $f^{(n)}(z) [/mm] = [mm] \frac{n!}{2\pi i} \int_{\partial U} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}dw$
[/mm]
Diese kannst du unter den gleichen Voraussetzungen anwenden, wie die einfache Cauchysche Integralformel. Damit folgt die Aussage auch für $n<-1$ sofort.
Für $n [mm] \geq [/mm] 0$ ist der Integrand [mm] $(z-a)^n$ [/mm] eine ganze Funktion, also ist das Integral über eine geschlossene Kurve natürlich 0.
LG Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Mo 13.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Das kannst Du doch locker zu Fuß ausrechnen:
$ [mm] \integral_{\partial B_{r}(a)}^{}{(z-a)^{n} dz}=\integral_{0}^{2 \pi}{i*r^{n+1}*e^{i(n+1)t} dt}$
[/mm]
Jetzt unterscheide die Fälle n=-1 und n [mm] \ne [/mm] -1
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Autist |
Erstmal vielen Dank an Lippel! Mit der allgemeinen Formel ging das recht fix.
Hallo fred97, ich wollte dir gerade in 10 Minuten schreiben, was das Problem bei mir war, wenn man die Kurve auf diese Weise direkt auswertet. Dabei ist mir glücklicherweise aufgefallen das ich beim anwenden des Hauptsatzes auf das Integral einen groben Fehler gemacht habe.
Auf dieser Weise muss man wirklich nur Einsetzen ohne Kenntniss der Cauchy-Integralformel o.Ä..
Vielen Dank!
|
|
|
|
