Kurvenintegral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Es sei [mm] \gamma [/mm] eine geschlossene Kurve in [mm] \IR³ [/mm] welche durch die 3 Punkte formiert wird:
[mm] P_1 [/mm] (1,0,0)
[mm] P_2 [/mm] (0,3,0)
[mm] P_3 [/mm] (0,0,4)
Berechnen Sie [mm] \integral_{\gamma}{}{z²ds} [/mm] |
Hallo alle zusammen!
Nun nach meiner letzten Aufgabe weiß ich doch schon sehr viel über Kurvenintegrale, jedoch dieses hier stellt mich vor einigen Fragen, und zwar:
1) Kann man hier den Sazt von Green verwenden (ich fürchte nein, da dieser ja nur in [mm] \IR² [/mm] definiert ist)
2) Würde man das Integral [mm] \integral_{\gamma}{}{1 ds} [/mm] berechnen, was würde dieses Resultat wiedergeben? Die Summe aller Längen, welche meine 3 Punkte verbinden oder die Fläche der Ebene, auf welcher alle 3 Punkte liegen und deren Begrenzung durch die Verbindung der 3 Punkte definiert wird?
3) Für die Berechnung des Integrals: Soll ich mir also für jede der 3 Seiten eine Funktion erstellen, diese parametrisieren und das Ergebnis der Integrale dann summieren? Sollte so etwas klappen?
Also zB: die Verbindung zwischen P1 und P2 wird durch den Vektor (-1,3,0) definiert. Eine passende Funktion dazu wäre ja:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + t* [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
Mit dieser Funktion mache ich dann mein erstes Integral. Liege ich hiermit richtig?
Ich hoffe ich habe meine Frage klar genug geschildert.
Dankeschön
lg
Zuggel
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> Es sei [mm]\gamma[/mm] eine geschlossene Kurve in [mm]\IR³[/mm] welche durch
> die 3 Punkte formiert wird:
> [mm]P_1[/mm] (1,0,0)
> [mm]P_2[/mm] (0,3,0)
> [mm]P_3[/mm] (0,0,4)
>
> Berechnen Sie [mm]\integral_{\gamma}{}{z²ds}[/mm]
Hallo Zuggel,
zuerst möchte ich eine sehr deutliche Kritik an der Aufgaben-
stellung äussern:
Eine "geschlossene Kurve, welche durch drei Punkte formiert
wird" ist natürlich Unsinn ! Drei Punkte zusammen formieren
niemals eine geschlossene Kurve (ausser im Fall [mm] P_1=P_2=P_3, [/mm] wo die
"Kurve" zum Punkt ausgeartet ist). Geschlossene Kurven, welche
die drei Punkte enthalten, gäbe es unendlich viele.
Gemeint ist wohl der Streckenzug [mm] P_1P_2P_3P_1 [/mm] , also ein Umlauf
des Dreiecksumfangs mit vorgeschriebener Umlaufsrichtung.
Dies sollte man aber auch klar sagen.
> Hallo alle zusammen!
>
> Nun nach meiner letzten Aufgabe weiß ich doch schon sehr
> viel über Kurvenintegrale, jedoch dieses hier stellt mich
> vor einigen Fragen, und zwar:
>
> 1) Kann man hier den Satz von Green verwenden (ich fürchte
> nein, da dieser ja nur in [mm]\IR²[/mm] definiert ist)
unmittelbar bestimmt nicht, da das Differential [mm] ds=\wurzel{dx^2+dy^2+dz^2}
[/mm]
nicht dem [mm] ds=\wurzel{dx^2+dy^2} [/mm] entspricht, das man für
das Umlaufintegral in der x-y-Ebene benötigen würde.
> 2) Würde man das Integral [mm]\integral_{\gamma}{}{1 ds}[/mm]
> berechnen, was würde dieses Resultat wiedergeben? Die Summe
> aller Längen, welche meine 3 Punkte verbinden oder die
> Fläche der Ebene, auf welcher alle 3 Punkte liegen und
> deren Begrenzung durch die Verbindung der 3 Punkte
> definiert wird?
ersteres, also den Dreiecksumfang !
> 3) Für die Berechnung des Integrals: Soll ich mir also für
> jede der 3 Seiten eine Funktion erstellen, diese
> parametrisieren und das Ergebnis der Integrale dann
> summieren? Sollte so etwas klappen?
> Also zB: die Verbindung zwischen P1 und P2 wird durch den
> Vektor (-1,3,0) definiert. Eine passende Funktion dazu wäre
> ja:
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] + t* [mm]\vektor{-1 \\ 3 \\ 0}[/mm]
> Mit
> dieser Funktion mache ich dann mein erstes Integral. Liege
> ich hiermit richtig?
Ja. t muss dann natürlich von 0 bis 1 laufen.
> Ich hoffe ich habe meine Frage klar genug geschildert.
>
> Dankeschön
> lg
> Zuggel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Do 04.09.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > Es sei [mm]\gamma[/mm] eine geschlossene Kurve in [mm]\IR³[/mm] welche durch
> > die 3 Punkte formiert wird:
> > [mm]P_1[/mm] (1,0,0)
> > [mm]P_2[/mm] (0,3,0)
> > [mm]P_3[/mm] (0,0,4)
> >
> > Berechnen Sie [mm]\integral_{\gamma}{}{z²ds}[/mm]
>
>
>
> Hallo Zuggel,
>
> zuerst möchte ich eine sehr deutliche Kritik an der
> Aufgaben-
> stellung äussern:
>
> Eine "geschlossene Kurve, welche durch drei Punkte
> formiert
> wird" ist natürlich Unsinn ! Drei Punkte zusammen
> formieren
> niemals eine geschlossene Kurve (ausser im Fall
> [mm]P_1=P_2=P_3,[/mm] wo die
> "Kurve" zum Punkt ausgeartet ist). Geschlossene Kurven,
> welche
> die drei Punkte enthalten, gäbe es unendlich viele.
>
> Gemeint ist wohl der Streckenzug [mm]P_1P_2P_3P_1[/mm] , also ein
> Umlauf
> des Dreiecksumfangs mit vorgeschriebener Umlaufsrichtung.
> Dies sollte man aber auch klar sagen.
>
Hallo!
Entschuldigung für meine Ausdrucksweise. Es ist eben so; Ich übersetze diese Aufgaben so deutlich wie möglich aus einer Ital. Aufgabenstellung. Mir ist daher der korrekte Ausdruck auf Deutsch, welcher mathematisch einwandfrei verständlich ist, nicht geläufig, daher mein wohl etwas schlechter Aufgabentext. Entschuldigung nochmal
>
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> > Hallo alle zusammen!
> >
> > Nun nach meiner letzten Aufgabe weiß ich doch schon sehr
> > viel über Kurvenintegrale, jedoch dieses hier stellt mich
> > vor einigen Fragen, und zwar:
> >
> > 1) Kann man hier den Satz von Green verwenden (ich fürchte
> > nein, da dieser ja nur in [mm]\IR²[/mm] definiert ist)
>
> unmittelbar bestimmt nicht, da das Differential
> [mm]ds=\wurzel{dx^2+dy^2+dz^2}[/mm]
> nicht dem [mm]ds=\wurzel{dx^2+dy^2}[/mm] entspricht, das
> man für
> das Umlaufintegral in der x-y-Ebene benötigen
> würde.
>
>
> > 3) Für die Berechnung des Integrals: Soll ich mir also für
> > jede der 3 Seiten eine Funktion erstellen, diese
> > parametrisieren und das Ergebnis der Integrale dann
> > summieren? Sollte so etwas klappen?
> > Also zB: die Verbindung zwischen P1 und P2 wird durch
> den
> > Vektor (-1,3,0) definiert. Eine passende Funktion dazu wäre
> > ja:
> > [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] + t* [mm]\vektor{-1 \\ 3 \\ 0}[/mm]
> >
> Mit
> > dieser Funktion mache ich dann mein erstes Integral. Liege
> > ich hiermit richtig?
>
> Ja. t muss dann natürlich von 0 bis 1 laufen.
Also, ich habe mir folgendes gedacht:
Ich nehme nun meine erste Gerade [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 }+ t*\vektor{-1 \\ 3 \\ 0} [/mm] mit [mm] t\in [/mm] [0,1]
es wäre ja dann folgendes der Fall: x=1-t und y=3t und z=0
[mm] s=\wurzel{x^2+y^2}, [/mm] ausgedrückt durch t: [mm] s(t)=\wurzel{(1-t)^2+(3t)^2}
[/mm]
Ich spare mir das Ableiten und gehe zum Integral wo ich sehe, dass dein z² meine Funktion ds, oder nach dem Ausdrücken mit t, mein dt multipliziert. Mit der Bedingung z=0 welche aus der Geraden hervorgeht ist mein Integral doch auch =0.
Also alle Fälle auf einem Blick:
[mm] P_1 P_2 [/mm] := [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}+t*\vektor{-1 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
[mm] P_2 P_3 [/mm] := [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 0}+t*\vektor{0 \\ -3 \\ 4}
[/mm]
[mm] P_3 P_1 [/mm] := [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 4}+t*\vektor{1 \\ 0 \\ -4}
[/mm]
oder:
[mm] P_1 P_2 [/mm] := x=1-t // y=3t // z=0 => Integral = 0
[mm] P_2 P_3 [/mm] := x=0 // y=3-3t // z=4t
[mm] s=\wurzel{x^2+y^2}=3-3t
[/mm]
ds/dt=-3 somit ds=-3dt
[mm] \integral_{0}^{1}{16*t²*-3}=-16
[/mm]
[mm] P_3 P_1 [/mm] := x=t // y=0 // z=4-4t
[mm] s=\wurzel{x^2+y^2}=\wurzel{t²}=t
[/mm]
[mm]ds/dt=1 => ds=dt[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{(4-4t)²}=16/3
[/mm]
Herauskommen sollte [mm] 16/3*(5+\wurzel{17})
[/mm]
Habe ich jetzt grundsätzlich falsch gearbeitet oder nur irgendwo etwas vergessen bzw einen Rechenfehler gemacht?
Danekschön
lg
Zuggel
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> Also, ich habe mir folgendes gedacht:
>
> Ich nehme nun meine erste Gerade [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }+ t*\vektor{-1 \\ 3 \\ 0}[/mm]
> mit [mm]t\in[/mm] [0,1]
>
> es wäre ja dann folgendes der Fall: x=1-t und y=3t und z=0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]s=\wurzel{x^2+y^2},[/mm] ausgedrückt durch t:
> [mm]s(t)=\wurzel{(1-t)^2+(3t)^2}[/mm] ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
von einer solchen Funktion s(t) ist hier keine Rede !
Mit s ist eine Hilfskoordinate gemeint, die für die
Weglänge entlang der Kurve [mm] \gamma [/mm] steht.
Einzelne Werte von s braucht man hier gar nicht,
aber das Differential [mm] ds=\wurzel{dx^2+dy^2+dz^2}.
[/mm]
Das erste Teilintegral (das für den Weg von [mm] P_1 [/mm] zu [mm] P_2) [/mm] ist:
[mm] I_1=\integral_{t=0}^{1}z^2*ds=\integral_{t=0}^{1}z^2*\wurzel{dx^2+dy^2+dz^2}
[/mm]
Da nun z=0 für alle Punkte dieses Wegstücks ist, wird auch
das ganze Integral gleich null.
Nehmen wir also das zweite Teilintegral (von [mm] P_2 [/mm] zu [mm] P_3): [/mm]
[mm] I_2=\integral_{t=0}^{1}z^2*ds=\integral_{t=0}^{1}z^2*\wurzel{dx^2+dy^2+dz^2}
[/mm]
Hier kommt die Parametrisierung der Strecke [mm] P_2P_3 [/mm] zum Zug, also:
x(t)=0 [mm] \bruch{dx}{dt}=x'(t)=0 [/mm] dx=0
y(t)=3-3t [mm] \bruch{dy}{dt}=y'(t)=-3 [/mm] dy=-3dt
z(t)=4t [mm] \bruch{dz}{dt}=z'(t)=4 [/mm] dz=4dt
Damit wird
[mm] I_2=\integral_{t=0}^{1}z^2*ds=\integral_{t=0}^{1}(4t)^2*\wurzel{0+(-3dt)^2+(4dt)^2}
[/mm]
[mm] =\integral_{t=0}^{1}16t^2*5\ dt=\bruch{80}{3}
[/mm]
Analog berechnet man [mm] I_3. [/mm] Das gesuchte Integral ist dann [mm] I_1+I_2+I_3.
[/mm]
LG al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Do 04.09.2008 | | Autor: | Zuggel |
Einen rießengroses Danke an der Stelle
Habe jetzt auch das Ergebnis herausbekommen, wie es sein soll. Nun wenn man weiß wie es geht, einen recht einfache Aufgabe, muss ich schon sagen  ! Danke für deinen Beistand
Aber einige Fragen bleiben mir noch offen:
Wir hatten ja das Oberflächen-Integral (https://matheraum.de/read?i=438113) wo wir auch ein dS hatten, welches wir durch ein Kreuzprodukt ausgedrückt haben. Das Ergebnis war jedoch eine Fläche. Jedoch soviel ich jetzt weis, wird durch ein Skalar-Produkt eine Fläche erzeugt und nicht durch ein Vektor-Produkt. Warum also das Vektor-Produkt? Hätten wir nicht dort auch mit dx²+dy²+dz² arbeiten können?
Würde jetzt hier bei der Aufgabe nicht [mm] \integral [/mm] {z² ds} stehen sondern zB [mm] \integral_{\gamma} [/mm] {z² [mm] d\gamma}. [/mm] Kann ich dann [mm] d\gamma [/mm] auch wieder durch [mm] \wurzel{dx²+dy²+dz²} [/mm] ausdrücken oder kommt hier etwas neues dazu?
Danke nochmals
lg
Zuggel
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> Aber einige Fragen bleiben mir noch offen:
>
> Wir hatten ja das Oberflächen-Integral
> (https://matheraum.de/read?i=438113) wo wir auch ein dS
> hatten, welches wir durch ein Kreuzprodukt ausgedrückt
> haben. Das Ergebnis war jedoch eine Fläche. Jedoch soviel
> ich jetzt weis, wird durch ein Skalar-Produkt eine Fläche
> erzeugt und nicht durch ein Vektor-Produkt. Warum also das
> Vektor-Produkt? Hätten wir nicht dort auch mit dx²+dy²+dz²
> arbeiten können?
>
> Würde jetzt hier bei der Aufgabe nicht [mm]\integral[/mm] {z² ds} stehen
sondern zB [mm]\integral_{\gamma}{z² *d\gamma}.[/mm] Kann ich
> dann [mm]d\gamma[/mm] auch wieder durch [mm]\wurzel{dx²+dy²+dz²}[/mm]
> ausdrücken oder kommt hier etwas neues dazu?
Wenn du statt "ds" einfach [mm] "d\gamma" [/mm] schreiben willst,
ändert sich prinzipiell natürlich nichts - ich glaube aber
nicht, dass eine solche Schreibweise üblich ist.
Das "ds" bei der Kurvenlänge kommt davon her, dass man
meistens Weglängen mit s bezeichnet (z.B. [mm] v=\bruch{s}{t} [/mm] !)
Das "dS" als Flächenelement bei Oberflächenberechnungen
stammt wohl aus englischsprachigen Büchern (Surface = Oberfläche).
es wird oft auch etwa mit dF (Fläche) oder dA (Area) bezeichnet.
"ds" und "dS" haben nicht direkt miteinander zu tun.
Dass wir in jener anderen Aufgabe das Flächenelement dS als
Betrag eines Vektorprodukts von vektoriellen Differentialen
schreiben konnten, liegt an einer wichtigen geometrischen
Eigenschaft des Vektorprodukts: Der Betrag des Vektors
[mm] \vec{a} \times \vec{b} [/mm] entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms,
welches von den beiden Vektoren aufgespannt wird.
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