Kurvenintegral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, habe Probelme mit Kurveninteralen:
Gegeben ist [mm] f_{\alpha}:\IR^{3}\to \IR^{3} [/mm] , [mm] \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{sin(z) \\ \alpha yz \\ xcos(z) + y^{2}} [/mm] mit [mm] \alpha \in\IR
[/mm]
Gegeben ist die Kurve K mit der Parametrisierung [mm] C(\delta) [/mm] = (cos [mm] \delta, [/mm] sin [mm] \delta, \delta)^{T} [/mm] mit 0 [mm] \le \delta \le \bruch{3\pi}{2} [/mm] .
Berechnen Sie das Kurvenintegral entlang K für [mm] \alpha [/mm] = 0 : [mm] \integral_{K}^{}{f_{0}(x) dx}
[/mm]
Berechnen Sie das Kurvenintegral entlang K für [mm] \alpha [/mm] = 2 : [mm] \integral_{K}^{}{f_{2}(x) dx}
[/mm]
? Wie ist denn hier vorzugehen? Ich lese hier einiges in meinem Buch über Kurvenintegrale, aber ein konkretes Beispiel habe ich noch nicht, deswegen, würde es mir glaube ich einiges helfen, die Sache zu verstehen, wenn mir hier ein bisschen geholfen werden könnte!
lg Surfer
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 Di 22.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, habe Probelme mit Kurveninteralen:
>
> Gegeben ist [mm]f_{\alpha}:\IR^{3}\to \IR^{3}[/mm] , [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{sin(z) \\ \alpha yz \\ xcos(z) + y^{2}}[/mm] mit [mm]\alpha \in\IR[/mm]
>
> Gegeben ist die Kurve K mit der Parametrisierung [mm]C(\delta)= (cos \delta, sin \delta, \delta)^{T}[/mm] mit 0 [mm]\le \delta \le \bruch{3\pi}{2}[/mm]
> .
>
> Berechnen Sie das Kurvenintegral entlang K für [mm]\alpha[/mm] = 0 :
> [mm]\integral_{K}^{}{f_{0}(x) dx}[/mm]
>
> Berechnen Sie das Kurvenintegral entlang K für [mm]\alpha[/mm] = 2 :
> [mm]\integral_{K}^{}{f_{2}(x) dx}[/mm]
>
> ? Wie ist denn hier vorzugehen? Ich lese hier einiges in
> meinem Buch über Kurvenintegrale, aber ein konkretes
> Beispiel habe ich noch nicht, deswegen, würde es mir glaube
> ich einiges helfen, die Sache zu verstehen, wenn mir hier
> ein bisschen geholfen werden könnte!
Die Definition des Kurvenintegrals ist eigentlich ganz einfach. Man nehme die Parametrisierung [mm] $C(\delta)$ [/mm] der Kurve und setze sie wie folgt ein:
[mm]\integral _{K}^{}{f(x) dx := \integral_{\delta_0}^{\delta_1} f(C(\delta) * C'(\delta) d\delta [/mm],
wobei [mm] $\delta_0$ [/mm] und [mm] $\delta_1$ [/mm] Anfangs- und Endpunkt der Kurve entsprechen, also in diesem Falle 0 und [mm] $\bruch{3\pi}{2}$.
[/mm]
Nehmen wir mal den ersten Fall:
[mm]f_0(x,y,z) = \vektor{\sin z\\0\\x\cos z+y^2} [/mm],
[mm] C'(\delta) = (-\sin\delta,\cos\delta,1)^T [/mm].
Eingesetzt:
[mm] \integral_{K}^{}{f_{0}(x) dx} = \integral_{0}^{3\pi/2} f_0(\cos\delta,\sin\delta,\delta) * (-\sin\delta,\cos\delta,1) d\delta [/mm]
[mm]= \integral_{0}^{3\pi/2} \vektor{\sin\delta\\0\\\cos^2\delta+\sin^2\delta} * (-\sin\delta,\cos\delta,1) d\delta [/mm]
[mm] = \integral_{0}^{3\pi/2} (-\sin^2\delta+1)d\delta = \integral_{0}^{3\pi/2}\cos^2\delta d\delta [/mm]
[mm]= \left.\bruch{1}{2} ( \cos\delta \sin\delta +\delta )\right|_{0}^{3\pi/2} = \bruch{3\pi}{4}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Di 22.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Beim zweiten Teil habe ich doch dann:
> > Berechnen Sie das Kurvenintegral entlang K für [mm]\alpha[/mm] = 2 :
> > [mm]\integral_{K}^{}{f_{2}(x) dx}[/mm]
> Die Definition des Kurvenintegrals ist eigentlich ganz
> einfach. Man nehme die Parametrisierung [mm]C(\delta)[/mm] der Kurve
> und setze sie wie folgt ein:
>
> [mm]\integral _{K}^{}{f(x) dx := \integral_{\delta_0}^{\delta_1} f(C(\delta) * C'(\delta) d\delta [/mm],
>
> wobei [mm]\delta_0[/mm] und [mm]\delta_1[/mm] Anfangs- und Endpunkt der Kurve
> entsprechen, also in diesem Falle 0 und [mm]\bruch{3\pi}{2}[/mm].
> [mm]f_2(x,y,z) = \vektor{\sin z\\ 2yz\\x\cos z+y^2} [/mm],
>
> [mm]C'(\delta) = (-\sin\delta,\cos\delta,1)^T [/mm].
>
> Eingesetzt:
>
> [mm]\integral_{K}^{}{f_{2}(x) dx} = \integral_{0}^{3\pi/2} f_0(\cos\delta,\sin\delta,\delta) * (-\sin\delta,\cos\delta,1) d\delta[/mm]
>
> [mm]= \integral_{0}^{3\pi/2} \vektor{\sin\delta\\2sin\delta * \delta\\\cos^2\delta+\sin^2\delta} * (-\sin\delta,\cos\delta,1) d\delta[/mm]
>
> [mm]= [mm] \integral_{0}^{3\pi/2} (-\sin^2\delta+2sin\deltacos\delta *\delta [/mm] + [mm] cos\delta^{2} [/mm] + [mm] sin^{2}\delta)d\delta [/mm]
oder habe ich hier bereits eine Fehler, weil ich nicht aufs ergebnis komme?
lg Surfer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Di 22.07.2008 | | Autor: | Kroni |
> Beim zweiten Teil habe ich doch dann:
Hi,
>
> > > Berechnen Sie das Kurvenintegral entlang K für [mm]\alpha[/mm] = 2 :
> > > [mm]\integral_{K}^{}{f_{2}(x) dx}[/mm]
>
>
> > Die Definition des Kurvenintegrals ist eigentlich ganz
> > einfach. Man nehme die Parametrisierung [mm]C(\delta)[/mm] der Kurve
> > und setze sie wie folgt ein:
> >
> > [mm]\integral _{K}^{}{f(x) dx := \integral_{\delta_0}^{\delta_1} f(C(\delta) * C'(\delta) d\delta [/mm],
> >
> > wobei [mm]\delta_0[/mm] und [mm]\delta_1[/mm] Anfangs- und Endpunkt der Kurve
> > entsprechen, also in diesem Falle 0 und [mm]\bruch{3\pi}{2}[/mm].
>
> > [mm]f_2(x,y,z) = \vektor{\sin z\\ 2yz\\x\cos z+y^2} [/mm],
> >
> > [mm]C'(\delta) = (-\sin\delta,\cos\delta,1)^T [/mm].
> >
> > Eingesetzt:
> >
> > [mm]\integral_{K}^{}{f_{2}(x) dx} = \integral_{0}^{3\pi/2} f_0(\cos\delta,\sin\delta,\delta) * (-\sin\delta,\cos\delta,1) d\delta[/mm]
>
> >
> > [mm]= \integral_{0}^{3\pi/2} \vektor{\sin\delta\\2sin\delta * \delta\\\cos^2\delta+\sin^2\delta} * (-\sin\delta,\cos\delta,1) d\delta[/mm]
>
> >
> > [mm]= [mm]\integral_{0}^{3\pi/2} (-\sin^2\delta+2sin\deltacos\delta *\delta[/mm] + [mm]cos\delta^{2}[/mm] + [mm]sin^{2}\delta)d\delta[/mm]
Hier hast du in deinem zweiten Summmanden vergessen, den [mm] $\cos$ [/mm] mit zu multiplizieren. Es müsste doch heißen [mm] $2\delta\sin\delta\cos\delta$ [/mm] und den letzten Summanden kannst du wegen [mm] $\cos^2+\sin^2=1$ [/mm] auch noch zusammenfassen oder einfach direkt das [mm] $+\sin$ [/mm] mit dem [mm] $-\sin$ [/mm] kürzen.
LG
Kroni
oder habe ich hier bereits eine Fehler, weil ich nicht aufs ergebnis komme?
lg Surfer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Di 22.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Kann das sein, dass es dann folgendes integriertes ergibt:
[mm] [-\bruch{1}{2}\delta cos(2\delta) [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}\delta sin(2\delta) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2\delta}sin(\delta^{2})]
[/mm]
stimmt das so?
lg Surfer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Di 22.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Nein !
Wo kommt das [mm] \delta [/mm] im Nenner und das [mm] \delta^2 [/mm] her ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Di 22.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Das integral was zu integrieren ist, ist doch:
[mm] \integral_{}^{}{2\delta sin\delta cos\delta + cos \delta^{2} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{}^{}{\delta sin2\delta + cos \delta^{2} dx}
[/mm]
?
lg Surfer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Di 22.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Lies doch mal die letzte Antwort von Kroni.
Zu integrieren ist die Funktion
$ [mm] 2\delta sin\delta cos\delta [/mm] - [mm] sin^2 \delta [/mm] +1$
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Di 22.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi
> Lies doch mal die letzte Antwort von Kroni.
> Zu integrieren ist die Funktion
>
>
> [mm]2\delta sin\delta cos\delta - sin^2 \delta +1[/mm]
>
ja aber ich kann doch für [mm] 2sin\delta [/mm] * [mm] cos\delta [/mm] auch [mm] 2sin\delta [/mm] schreiben und in dem Fall noch nach [mm] \delta [/mm] mit rein nehmen!
oder?
lg Surfer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Di 22.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Das
"und in dem Fall noch nach $ [mm] \delta [/mm] $ mit rein nehmen! "
ist mir nicht klar. ???????????????????????????????????
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Di 22.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok und wie integriere ich dieses monströse Teil?
[mm] \integral_{0}^{\bruch{3\pi}{2}}{2\delta sin\delta cos\delta - sin^{2}\delta +1 dx}
[/mm]
?
lg Surfer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Di 22.07.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
[mm] $2\sin(x)*\cos(x)=sin(2x)$ [/mm] und [mm] $\cos^2+\sin^2=1$. [/mm] Damit kannst du dann dein [mm] $1-\sin^2$ [/mm] eliminieren.
Der Rest geht dann via Partieller Integration etc.
LG
Kronibeantwortet)
|
|
|
|
