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| Aufgabe | Ich habe eine Frage zum folgenden Wikipedia Link über kurvenintegrale
![[]](/images/popup.gif) Kurvenintegral |
Ich verstehe nicht was unter dem Punkt "Einfluss der Parametrisierung" erklärt wird. liegt z.b. daran das ich nicht sicher bin was ein Bild ist (ich habe mir Definition gelesen, so wie ich das verstanden habe ist ein Bild dasselbe wie ein Funktionswert)
Kann jemand das, was unter "Einfluss der Parametrisierung" erklärt wird, nochmal anders erklären?
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Hallo,
Betrachte folgende zwei Kurven:
[mm] \gamma_1:[0,1]\to\IR [/mm] gemäß [mm] t\mapsto{t}
[/mm]
und
[mm] \gamma_2:[2,3]\to\IR [/mm] gemäß [mm] t\mapsto{t-2}
[/mm]
Die Parametrisierungen von den zwei Kurven ist verschieden. Das Bild ist jedoch gleich.
Das mit dem Bild kann man sich wirklich bildlich vorstellen. Wenn du die Kurve zeichnen würdest, dann würdest du eben zweimal dasselbe Bild bekommen. Oder anders gesagt, wenn du eine FUnktion $f$ mit Definitionsbereich $D$ hast, dann ist $f(D)$ das Bild.
Ich denke, damit ist alles klar, oder? Falls nicht, dann einfach noch mal nachfragen.
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Hallo,
> Das mit dem Bild kann man sich wirklich bildlich vorstellen. Wenn du die Kurve zeichnen würdest, dann würdest du eben zweimal dasselbe Bild bekommen. Oder
> anders gesagt, wenn du eine FUnktion [mm]f[/mm] mit Definitionsbereich [mm]D[/mm] hast, dann ist [mm]f(D)[/mm] das Bild.
gegeben ist [mm] f(x)=x^2
[/mm]
für x=2 bekomme ich das Bild 4 richtig? Bild ist dasselbe wie Funktionwert. Kann ich das Wort Bild durch Funktionswert ersetzen oder unterscheiden Mathematiker diese beiden begriffe?
Ich habe das ganze nun so verstanden:
Gegeben sind die Kurven [mm] \gamma_1 [/mm] und [mm] \gamma_2 [/mm] im folgenden Bild
[Dateianhang nicht öffentlich]
In den Punkten a und b haben [mm] \gamma_1 [/mm] und [mm] \gamma_2 [/mm] dasselbe Bild (funktionswert). Deshalb gilt:
[mm] \gamma_1(a)=\gamma_2(a)
[/mm]
[mm] \gamma_1(b)=\gamma_2(b)
[/mm]
Deshalb gilt auch die folgende gleichung:
Kurvenintegral ertser Art: [mm] \integral_{a}^{b}{f(\gamma_1(t))*|\gamma_1'(t)| dt}=\integral_{a}^{b}{f(\gamma_2(t))*|\gamma_2'(t)| dt}
[/mm]
Kurvenintegral 2. Art: [mm] \integral_{a}^{b}{f(\gamma_1(t))*\gamma_1'(t) dt}=\integral_{a}^{b}{f(\gamma_2(t))*\gamma_2'(t) dt}
[/mm]
habe ich das so richtig verstanden?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo!
> gegeben ist [mm]f(x)=x^2[/mm]
>
> für x=2 bekomme ich das Bild 4 richtig? Bild ist dasselbe
> wie Funktionwert. Kann ich das Wort Bild durch
> Funktionswert ersetzen oder unterscheiden Mathematiker
> diese beiden begriffe?
Nein, das sind unterschiedliche Dinge. Nimm eine Menge von x-Werten. Die Menge aller Funktionswerte, die sich aus diesen x-Werten ergeben, sind das Bild. (und die Menge der x-Werte wird oft Urbild genannt)
Beispiel: Für jeden x-Wert im Intervall [1;2] (Urbild) nimmt f(x)=x² einen Wert im Bereich [1;4] (Bild) an. Denk dran: Das ist surjektiv, das heißt, jeder Wert im Bild hat mindestens einen entsprechenden Wert im Urbild.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Ich finde deine Grafik ungeeignet, weil sie je nach Sichtweise fast richtig oder völlig falsch ist.
Nehmen wir nochmal ein Beispiel:
[mm] \gamma_1(t)=t^2+1 [/mm] für [mm] t\in[0;2]
[/mm]
[mm] \gamma_2(t)=t-1 [/mm] für [mm] t\in[2;6]
[/mm]
Beide Wege haben unterschiedliche Urbilder (=Wertebereiche für t), diese werden aber beide auf [1;5] abgebildet, sie haben das gleiche Bild. Zusätzlich wird gefordert, daß beide Wege für den ersten (und letzten) Wert ihrer jeweiligen den gleichen Wert annehmen, also
[mm] \gamma_1(0)=\gamma_2(2) [/mm] und [mm] \gamma_1(2)=\gamma_2(6)
[/mm]
>
> Ich habe das ganze nun so verstanden:
>
> Gegeben sind die Kurven [mm]\gamma_1[/mm] und [mm]\gamma_2[/mm] im folgenden
> Bild
>
Die letzte Forderung sorgt dafür, daß beide Wege den gleichen Startpunkt haben.
Mal ganz plump: Zwei Autos fahren an unterschiedlichen Tagen von Hamburg nach München. Gefordert wird, daß sie die gleiche Route fahren (das gleiche Bild haben). Gefordert wird weiterhin, daß beide zu ihren jeweiligen Startzeitpunkten in Hamburg, und zur Ankunftszeit in München sind. Dabei ist es aber völlig egal, wann sie los fahren, wie lange sie brauchen, und wie schnell sie zwischendrin fahren.
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Hallo,
ich denke ich habs nun verstanden, aber mir ist nicht wirklich klar, was ich daraus lernen soll bzw. was mir diese Information bringt
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ach ok jetzt verstehe ich was ich daraus lernen soll. Ich sollte lernen das unterschiedliche Parametrisierungen die selbe Kurve ergeben können
Beispiel: Der Einheitskreis
[mm] \gamma_1=\vektor{cos(t) \\ sin(t)}
[/mm]
[mm] \gamma_2=\vektor{cos(t) \\ -sin(t)}
[/mm]
[mm] \gamma_3=\vektor{cos(2t) \\ sin(2t)}
[/mm]
Die drei Parametrisierungen oben sind unterschiedlich definiert aber für das intervall [mm] [0,2\pi] [/mm] ergeben alle 3 die selbe Kurve
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Mo 05.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> ach ok jetzt verstehe ich was ich daraus lernen soll. Ich
> sollte lernen das unterschiedliche Parametrisierungen die
> selbe Kurve ergeben können
Nicht nur das ! Hast Du meine Antwort nicht gelesen ?
FRED
>
> Beispiel: Der Einheitskreis
>
> [mm]\gamma_1=\vektor{cos(t) \\ sin(t)}[/mm]
>
> [mm]\gamma_2=\vektor{cos(t) \\ -sin(t)}[/mm]
>
> [mm]\gamma_3=\vektor{cos(2t) \\ sin(2t)}[/mm]
>
> Die drei Parametrisierungen oben sind unterschiedlich
> definiert aber für das intervall [mm][0,2\pi][/mm] ergeben alle 3
> die selbe Kurve
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:56 Mo 05.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe eine Frage zum folgenden Wikipedia Link über
> kurvenintegrale
>
> Kurvenintegral
>
> Ich verstehe nicht was unter dem Punkt "Einfluss der
> Parametrisierung" erklärt wird. liegt z.b. daran das ich
> nicht sicher bin was ein Bild ist (ich habe mir Definition
> gelesen, so wie ich das verstanden habe ist ein Bild
> dasselbe wie ein Funktionswert)
>
> Kann jemand das, was unter "Einfluss der Parametrisierung"
> erklärt wird, nochmal anders erklären?
Seien [mm] \gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n [/mm] und [mm] \eta\colon[c,d]\to\mathbb [/mm] Wege im [mm] \IR^n.
[/mm]
Das Bild von [mm] \gamma [/mm] , [mm] Bild(\gamma), [/mm] ist die Menge
[mm] Bild(\gamma)=\{\gamma(t):t \in [a,b]\}.
[/mm]
Nun stellt sich die
FRAGE: ist
(1) [mm] Bild(\gamma)= Bild(\eta),
[/mm]
ist dann auch
(2) $ [mm] \int\limits_\gamma \mathbf{f}(\mathbf{x})\cdot\mathrm d\mathbf{x} [/mm] = [mm] \int\limits_\eta \mathbf{f}(\mathbf{x})\cdot\mathrm d\mathbf{x}$ [/mm] für jedes stetige f ???
Im allgemeinen ist diese Frage mit "Nein" zu beantworten. Suche Du ein geeignetes Beispiel.
Nächste
FRAGE: es gelte (1). Was muss man noch voraussetzen, damit (2) richtig ist ?
Eine Antwort findes Du unter "Einfluss der Parametrisierung" in Deinem obigen Link.
FRED
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mir fällt kein geeignetes beispiel ein zur ersten frage
>
> FRAGE: es gelte (1). Was muss man noch voraussetzen, damit
> (2) richtig ist ?
>
Man muss voraussetzen: [mm] \gamma(a)=\eta(a) [/mm] und [mm] \gamma(b)=\eta(b)
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:25 Di 06.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> mir fällt kein geeignetes beispiel ein zur ersten frage
>
> >
> > FRAGE: es gelte (1). Was muss man noch voraussetzen, damit
> > (2) richtig ist ?
> >
>
> Man muss voraussetzen: [mm]\gamma(a)=\eta(a)[/mm] und
> [mm]\gamma(b)=\eta(b)[/mm]
Das reicht nicht ! Man muss auch noch
[mm] \gamma_{|(a,b)} [/mm] und [mm] \eta_{|(c,d)} [/mm] sind injektiv
fordern !
FRED
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