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Kurvendisskusion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 Mo 03.11.2008
Autor: abi09-.-

Aufgabe
f (x) = ( [mm] x^{2} [/mm] - 2x +1) [mm] e^{x} [/mm]

hallo,
also ich habe bei meiner kurvendiskussion so komische werte raus, das ich einfach mal fragen wollte ob jemand gucken kann was ich falsch gemacht habe... wäre sehr lieb!

ableitungen:
f'(x) = (2x-2) [mm] \* e^{x} [/mm] + [mm] (x^{2}-2x+1) \* e^{x} [/mm]
       = [mm] (-1+x^{2}) \* e^{x} [/mm]
f''(x) = 2x [mm] \* e^{x} [/mm] + [mm] (-1+x^{2}) \* e^{x} [/mm]
        = (2x - 1 + [mm] (x^{2}) \* e^{x} [/mm]

achsenschnittpunkte:
f(0) = [mm] e^{0} [/mm] = 1
[mm] S_{y} [/mm] (0/1)

f(x) = 0 :
( [mm] x^{2} [/mm] - 2x +1) [mm] e^{x} [/mm] = 0
[mm] x^{2} [/mm] - 2x +1 = 0 , da [mm] e^{x} \not= [/mm] 0, für alle x [mm] \in \IR. [/mm]
[mm] S_{x} [/mm] (1/0)

Extrempunkte:

f'(x) = 0 :
[mm] (-1+x^{2}) \* e^{x} [/mm] = 0
[mm] (-1+x^{2}) [/mm] = 0 , da [mm] e^{x} \not= [/mm] 0, für alle x [mm] \in \IR. [/mm]
x=1

f''(1) [mm] \approx [/mm] 5,44 > 0

T (1/0)

Verhalten im Unendlichen:

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\to\infty [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}\to [/mm] 0,
da [mm] e^{x} [/mm] im Unendlichen das Verhalten bestimmt.

Wendepunkte:

f''(x) = 0 :
(2x - 1 + [mm] x^{2}) \* e^{x} [/mm] = 0
2x - 1 + [mm] x^{2} [/mm] = 0 ; da [mm] e^{x} \not= [/mm] 0, für alle x [mm] \in \IR. [/mm]

[mm] x^{2} [/mm] +2x-1 = 0

x= -1 [mm] \pm \wurzel{2} [/mm]
x [mm] \approx [/mm] 0,414 [mm] \vee [/mm] x [mm] \approx [/mm] -2,414

f(0,414) [mm] \approx [/mm] 0,52

WP (0,414/0,52)

f(-2,414) [mm] \approx [/mm] 1,043

WP (-2,414/1,043)

... irgendwas stimmt da nicht....
hm^^
                    


        
Bezug
Kurvendisskusion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 Mo 03.11.2008
Autor: steppenhahn

Hallo!

> f (x) = ( [mm]x^{2}[/mm] - 2x +1) [mm]e^{x}[/mm]
>  hallo,
>  also ich habe bei meiner kurvendiskussion so komische
> werte raus, das ich einfach mal fragen wollte ob jemand
> gucken kann was ich falsch gemacht habe... wäre sehr lieb!
>
> ableitungen:
>  f'(x) = (2x-2) [mm]\* e^{x}[/mm] + [mm](x^{2}-2x+1) \* e^{x}[/mm]
> = [mm](-1+x^{2}) \* e^{x}[/mm]

[ok]

> f''(x) = 2x [mm]\* e^{x}[/mm] + [mm](-1+x^{2}) \* e^{x}[/mm]
> = [mm](2x - 1 + x^{2}) * e^{x}[/mm]

[ok]


> achsenschnittpunkte:
>  f(0) = [mm]e^{0}[/mm] = 1
>  [mm]S_{y}[/mm] (0/1)

[ok] Das ist zwar so richtig, aber du solltest nicht f(0) = [mm] e^{0} [/mm] schreiben, weil da kann man als Leser verwirrt werden, sondern lieber einmal ganz ausschreiben oder gleich das Ergebnis hin:

f(0) = [mm] (0^{2}-2*0+1)*e^{0} [/mm] = 1

oder

f(0) = 1

Aber so etwas halbes finde ich nicht so schön - ist aber Ansichtssache, Punktabzug gäbe es nicht.

> f(x) = 0 :
> ( [mm]x^{2}[/mm] - 2x +1) [mm]e^{x}[/mm] = 0
>  [mm]x^{2}[/mm] - 2x +1 = 0 , da [mm]e^{x} \not=[/mm] 0, für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
>  
> [mm]S_{x}[/mm] (1/0)

[ok]. Genau. Man könnte eventuell noch erwähnen, dass hier eine doppelte Nullstelle vorliegt, weil die Funktion f(x) = [mm] (x-1)^{\red{2}}*e^{x} [/mm] lautet :-)

> Extrempunkte:
>  
> f'(x) = 0 :
>  [mm](-1+x^{2}) \* e^{x}[/mm] = 0
>  [mm](-1+x^{2})[/mm] = 0 , da [mm]e^{x} \not=[/mm] 0, für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
>  
> x=1

[ok] Hier fehlt aber noch eine Lösung! Aus

[mm] x^{2} [/mm] - 1 = 0 [mm] \gdw x^{2} [/mm] = 1

ergibt sich nämlich

x = [mm] \pm [/mm] 1

wegen dem Quadrat! Somit gibt es noch eine weitere Extremstelle zu untersuchen, nämlich -1 !

> f''(1) [mm]\approx[/mm] 5,44 > 0

[ok] Ich weiß zwar nicht, wie ihr das im Unterricht gemacht habt, aber ich finde es schöner und exakter und besser ... wenn man das ausrechnet und es mit e hinschreibt:

f''(1) = 2*e > 0

> T (1/0)

[ok]
Aber: Noch den zweiten Extrempunkt untersuchen!

> Verhalten im Unendlichen:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\to\infty[/mm]

Hier schreibt man ein Gleichheitszeichen!

[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} = \infty[/mm]

[mm] \infty [/mm] als Ergebnis ist aber richtig [ok].

> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}\to[/mm] 0,
>  da [mm]e^{x}[/mm] im Unendlichen das Verhalten bestimmt.

[mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} = [/mm] 0

[ok]. Begründung schultechnisch sicher ok.

> Wendepunkte:
>  
> f''(x) = 0 :
>  (2x - 1 + [mm]x^{2}) \* e^{x}[/mm] = 0
>  2x - 1 + [mm]x^{2}[/mm] = 0 ; da [mm]e^{x} \not=[/mm] 0, für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
>  
> [mm]x^{2}[/mm] +2x-1 = 0
>  
> x= -1 [mm]\pm \wurzel{2}[/mm]
>  x [mm]\approx[/mm] 0,414 [mm]\vee[/mm] x [mm]\approx[/mm]
> -2,414

Wunderbar [ok]. Bei den nachfolgenden Berechnungen des y-Werts macht es wahrscheinlich wirklich Sinn, die Wurzeln mit durch gerundete Dezimalzahlen zu ersetzen, weil sonst auch nur Kauderwelsch raus kommt :-)

> f(0,414) [mm]\approx[/mm] 0,52
>  
> WP (0,414/0,52)

[ok].
Du brauchst deine Errungenschaften nicht zu verstecken: Schreibe

[mm] f(\sqrt{2}-1) \approx [/mm] 0,52
[mm] WP(\sqrt{2}-1/0,52) [/mm]

:-)

> f(-2,414) [mm]\approx[/mm] 1,043

>  
> WP (-2,414/1,043)
>  
> ... irgendwas stimmt da nicht....
>  hm^^

[ok] Wie oben für die x-Werte ruhig die Wurzeln benutzen. Wieso rundest du hier plötzlich auf 3 Stellen nach dem Komma?

Falsche Bedenken! Alles, was du ausgerechnet hast stimmt! Nur die Extremstelle noch ergänzen :-)

Stefan.

Bezug
                
Bezug
Kurvendisskusion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:40 Mo 03.11.2008
Autor: abi09-.-

dankeschön, das war sehr hilfreich xD

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