Kurvendiskussion mit e und ln < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben ist eine Funktion durch y=f(x)= 2x(1- ln x). G ist der zugehörige Graph. Bestimmen Sie von f den maximalen Definitionsbereich und die Nullstelle! Berechnen Sie f(√e)! |
Hallo.
Ich habe die Nullstellen bereits ausgerechnet. Ich hoffe sie sind richtig!? So, dann weiß ich aber nicht, wie ich den Definitionsbereich herausfinden kann. Außerdem weiß ich nicht, was "e" ist, bzw. was für eine Zahl dahintersteckt. Ist e=1 (bei meinem Taschenrechner: SHIFT-ln zeigt er 1 an) oder ist mit e die Elementarladung aus dem Tafelwerk gemeint?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich wär euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könnt.
Viele Grüße
Andreas
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Andreas,
die Umformung bei der Bestimmung der Nullstelle stimmt nicht:
[mm] $2x\ln(x)\ne 2\ln(x^2)$
[/mm]
Mache dir doch lieber die Eigenschaft des Nullproduktes zu Nutze.
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn (mindestens) einer der Faktoren Null ist
Also hier [mm] $2x(1-\ln(x))=0 \gdw [/mm] 2x=0 [mm] \vee 1-\ln(x)=0 \gdw [/mm] x=0 [mm] \vee \ln(x)=1 \gdw [/mm] x=0 [mm] \vee e^{\ln(x)}=e^1 \gdw [/mm] x=0 [mm] \vee x=e^1=e$
[/mm]
Nun überlege dir, welche der Nullstellen in Frage kommen können, wenn man den Definitionsbereich beachtet.
Nun [mm] 2x(1-\ln(x)) [/mm] macht ja nur dort Probleme, wo der [mm] \ln [/mm] Probleme macht.
Und wie ist der Definitionsbereich des [mm] \ln [/mm] ?
Das ist dann derselbe wie für deine Funktion
Gruß
schachuzipus
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Das mit dem "wenn ein Faktor 0 ist" hab ich verstanden und auch mal so aufgeschrieben.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Allerdings versteh ich das andere nicht. Kann ich nicht einfach die 1 durch ln teilen? Dann hab ich x= ln1 und dann wäre x=0. Wo kommt auf einmal das e her und was ist e überhaupt?
Grüße
Andreas
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Andreas,
der [mm] \ln [/mm] ist ne Funktion, da kannste nicht so durch teilen,
nimm mal zB [mm] \sin(x)=1
[/mm]
Da teilst du ja auch nicht durch [mm] \sin [/mm] und sagst [mm] x=\frac{1}{\sin}.
[/mm]
Das wäre genauso unsinnig.
Wie gesagt, der [mm] \ln [/mm] ist ne Funktion, gesucht ist nun das Argument x, das man in den [mm] \ln [/mm] "reinstecken" muss, so dass 1 rauskommt.
$e$ ist übrigens die Eulersche Zahl, [mm] $e\approx [/mm] 2,71...$
Die e-Funktion [mm] e^x [/mm] ist die Umkehrfunktion von [mm] \ln(x) [/mm] und umgekehrt, dh. beide "heben" sich weg, wenn man sie aufeinander anwendet, soll heißen
[mm] \ln(e^x)=x=e^{ln(x)}
[/mm]
So müssen wir das hier auch angehen:
[mm] \ln(x)=1 \mid [/mm] auf beiden Seiten mit der e-Funktion draufhauen:
[mm] \Rightarrow e^{ln(x)}=e^1
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=e^1=e
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Ok. Ich glaub ich habs grob verstanden. Zu dem Definitionsbereich kann ich sagen: x>0 . So wie das für alle Logarithmusfunktionen gilt. Ist das richtig?
Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 So 17.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi.
Ja, das ist so. Das liegt daran, weil die Logarithmusfunktionen die Umkehrfunktion zu den Exponentialfunktionen sind. Wenn ich das weiter ausführen soll, sag bescheid.
LG
Kroni
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