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| Aufgabe | Gegeben Sei die Funktion
[mm] f(x)=\bruch{(lnx)^2}{x^2}
[/mm]
Man bestimme Definitionsbereich, Wertevorrat, Nullstellen, lokale Minimal- und Maximalstellen (mittels der Differentialrechnung). Man charakterisisere das Verhalten für x [mm] \mapsto \infty [/mm] und x [mm] \mapsto [/mm] 0 und fertige eine Skizze an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
1.Defintionsbereich:
D={x | x>0 [mm] \in \IR [/mm] }
kann man das so aufschreiben?
2.Wertevorrat:
[mm] y=\bruch{(ln(x))^2}{x^2}
[/mm]
[mm] \wurzel{y}=\bruch{ln(x)}{x}
[/mm]
[mm] (e^{\wurzel{y}})^x=(e^{ln(x)*\bruch{1}{x})^x}
[/mm]
[mm] (e^{\wurzel{y}})^x=x
[/mm]
[mm] e^{\wurzel{y}}=x^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
wie kann ich die funktion nach x umstellen?
3.Nullstellen: f(x)= 0
[mm] \bruch{(ln(x))^2}{x^2} [/mm] = 0
[mm] (ln(x))^2=0
[/mm]
x= [mm] \pm [/mm] 1 (da nur positive x zugelassen sind, gibt es nur die nullstelle x=1)
4.Extrema: f'(x)=0 und [mm] f''(x)\not=0 [/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{2x*ln(x)*(1-ln(x))}{x^4}
[/mm]
2x*ln(x)=0 oder 1-ln(x)=0
ln(x)=0 1=ln(x)
x=1 x=e
[mm] f''(x)=\bruch{(2ln(x)+2)*x^4-8x^4ln(x)}{x^8} [/mm] - [mm] \bruch{(2(ln(x))^2+4ln(x))*x^4-8x^4*(ln(x))^2}{x^8}
[/mm]
[mm] f''(e)=\bruch{-2}{e^4}<0 \Rightarrow [/mm] max.
[mm] f(e)=\bruch{1}{e^2}
[/mm]
f''(1)=2>0 [mm] \Rightarrow [/mm] min.
f(1)=0
Max.Punkt(e / [mm] \bruch{1}{e^2})
[/mm]
Min.Punkt(1 / 0)
5.Verhalten im Unendlichen und bei Null:
Für x gegen Unendlich (L´Hopital):
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(ln(x))^2}{x^2}=0
[/mm]
und für x gegen Null:
[mm] \limes_{n\rightarrow 0+} \bruch{(ln(x))^2}{x^2}=\infty
[/mm]
weil etwas sehr großes durch etwas sehr kleines einen sehr großen wert ergibt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Di 29.07.2008 | | Autor: | clwoe |
Hi,
also die 1) stimmt.
Bei der 2) brauchst du nicht nach x umstellen. Der Zähler und der Nenner werden jeweils quadriert und sind somit immer positiv. Und in deiner Umformung kannst du anhand des Wurzelausdrucks im Exponenten erkennen welche Werte y annnehmen darf.
Die Nullstelle ist richtig.
Die Extremwerte stimmen.
Der erste Grenzwert mit L´Hospital stimmt. Der zweite stimmt auch, nur kann man da besser sagen, das der Zähler durch das Quadrat und auch durch den ln(x) wesentlich schneller gegen unendlich strebt wie der Nenner gegen 0 strebt und deshalb die Funktion gegen unendlich strebt.
Gruß,
clwoe
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ok danke. ja das klingt wirklich besser wie du es begründet hast mit dem verhalten der funktion wenn x gegen null strebt.
okay ich kann mir vorstellen wie die y werte sein dürfen nämlich y>0 ... aber ich würde das gern auch rechnerisch durch umstellung nach x zeigen. weil das ist mal eine klausuraufgabe gewesen und ich nicht genau weiß, ob es ihnen ausreicht, wenn man einfach nur hinschreibt y>0.
kann ich den definitionsbereich so notieren wie ich ihn notiert hab oder ist da ein fehler in der notation?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Di 29.07.2008 | | Autor: | abakus |
> ok danke. ja das klingt wirklich besser wie du es begründet
> hast mit dem verhalten der funktion wenn x gegen null
> strebt.
>
> okay ich kann mir vorstellen wie die y werte sein dürfen
> nämlich y>0 ...
Leider falsch. Es gilt [mm] y\ge [/mm] 0. 
(Wenn es auf den Wertebereich 2 Punkte gibt, ziehe ich bei meinen Schülern an dieser Stelle immer einen ab. Wenn es nur einen Punkt auf die Angabe des Wertebereichs gibt, ist der eine Punkt dann eben ganz weg.)
Gruß Abakus
> aber ich würde das gern auch rechnerisch
> durch umstellung nach x zeigen. weil das ist mal eine
> klausuraufgabe gewesen und ich nicht genau weiß, ob es
> ihnen ausreicht, wenn man einfach nur hinschreibt y>0.
>
> kann ich den definitionsbereich so notieren wie ich ihn
> notiert hab oder ist da ein fehler in der notation?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Di 29.07.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
ja stimmt y [mm] \ge [/mm] 0 , hab da etwas gepennt, herr lehrer ;)
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> ok danke. ja das klingt wirklich besser wie du es begründet
> hast mit dem verhalten der funktion wenn x gegen null
> strebt.
>
> okay ich kann mir vorstellen wie die y werte sein dürfen
> nämlich y>0 ... aber ich würde das gern auch rechnerisch
> durch umstellung nach x zeigen. weil das ist mal eine
> klausuraufgabe gewesen und ich nicht genau weiß, ob es
> ihnen ausreicht, wenn man einfach nur hinschreibt y>0.
Du kannst den Term nicht ohne Weiteres nach x umstellen.
Man kann aber an der Funktion sehen, dass y ge 0 gilt: Für x = 1 wird der Zähler 0 und wir erhalten 0 in unserem Wertebereich. Wenn ich x gegen 0 gehen lasse, erhalte ich [mm] \infty. [/mm] Da die Funktion stetig ist, gibt es auch alle Werte dazwischen. 
> kann ich den definitionsbereich so notieren wie ich ihn
> notiert hab oder ist da ein fehler in der notation?
So wie du es geschrieben hast sieht es doch etwas wirr in der Mengenklammer aus Man notiert Mengen allgemein z.B. mit
[mm]\left\{x\in\ \mbox{Bereich}|\ \mbox{Bedingungen für x}\right\}[/mm]
Bei dir wäre das dann:
[mm]ID_{f} = \left\{x\in\ \IR|\ x > 0\right\}[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:17 Mi 30.07.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
ok werd ich mir merken
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