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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Jana86 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich habe gerade eben eine gebrochen rationale Kurvendiskussion gerechnet. Ich wäre sehr beruhigt, wenn jemand mal kurz einen Blick drüber werfen könnte....
Die Funktion:
f(X) = [mm] \frac{1}{X+1}
[/mm]
Der Definitionsbereich ist ganz [mm] \IR [/mm] außer 1.
Der Graph ist punktsymmetrisch zu (0|0), da -f(-X) = f(x) ist.
Es gibt keine Nullstellen, da der Zähler 1=0 ergibt.
Der Graph schneidet die Achse bei (0|1), da [mm] \frac{1}{0+1} [/mm] 1 ergibt.
Dann die Ableitungen, da bin ich mir nicht sicher:
Man muss mit der Quozientenregel ableiten. Also:
[mm] \frac{1*(X+1) - (X*1)}{(x+1)^2}
[/mm]
Das ergibt ausgerechnet [mm] \frac{1}{(X+1)^2} [/mm]
Die zweite Ableitung (Quozientenregel und auch Kettenregel):
[mm] \frac{0*(x+1)^2 - 1 * x^2 * x}{(X+1)^4} [/mm]
f''(X) = [mm] \frac{x^3}{(x+1)^4} [/mm] ????
Und die dritte Ableitung:
[mm] \frac{3x^2* (X+1)^4 - x^3 *4(X+1)^3 * 4}{(x+1)^8} [/mm]
Man klammert [mm] (x+1)^3 [/mm] aus und erhält:
[mm] \frac{-4x^3 + 3x^3 + 3x^2}{(x+1)^5} [/mm]
Was meint ihr? Stimmt meine Kurvendiskussion bis jetzt?
Liebe Grüße, Jana
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Jana86 |
Hallo nochmal!
Hier ein zweiter Anlauf:
>
> Die Funktion:
> f(X) = [mm]\frac{1}{X+1}[/mm]
> Der Definitionsbereich ist ganz [mm]\IR[/mm] außer 1.
Schon klar, es ganz R außer -1, war ein Tippfehler.
> Der Graph ist punktsymmetrisch zu (0|0), da -f(-X) = f(x)
> ist.
Das ist nicht richtig? Hmm, ich schreib mal meinen Rechenweg auf. Vielleicht kannst Du mir dann noch einmal helfen??Folgendes:
f(-x)= [mm]\frac{1}{(-X)+1}[/mm]. Das ist nicht gleich f(x).
Dann f-(-x) = - [mm]\frac{1}{(-X)+1}[/mm]. Dadurch wird doch das x wieder positiv und die Funktion - f (-x) ist gleich f(x)
Hmm, wie Du auf die erste Ableitung gekommen bist, versteh ich ja wieder... Klar, da muss ein Minuszeichen davor. Wie aber kommt man auf die zweite Ableitung? Kannst Du mir noch einmal helfen?
Um nur einmal den Zähler aufzuschreiben:
-1* [mm] (x+1)^2 [/mm] - (-1) * 2(x+1) * x
Man klammert das (x+1) aus und kürzt es weg. Dann erhält man im Zähler:
-x -1 + 2x
Wo liegt mein Fehler?
Schöne Grüße, Jana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Fugre |
Hallo Jana,
zunächst einmal möchte ich dich bitten eine Antwort nur dann als fehlerhaft zu
kennzeichnen, wenn du den Fehler eindeutig gefunden hast; sollte dir etwas
komisch vorkommen, so schreibe einfach eine Mitteilung, in der du darauf hinweist.
> Hallo nochmal!
> Hier ein zweiter Anlauf:
> >
> > Die Funktion:
> > f(X) = [mm]\frac{1}{X+1}[/mm]
> > Der Definitionsbereich ist ganz [mm]\IR[/mm] außer 1.
>
> Schon klar, es ganz R außer -1, war ein Tippfehler.
Gut.
> > Der Graph ist punktsymmetrisch zu (0|0), da -f(-X) = f(x)
> > ist.
>
> Das ist nicht richtig? Hmm, ich schreib mal meinen
> Rechenweg auf. Vielleicht kannst Du mir dann noch einmal
> helfen??Folgendes:
> f(-x)= [mm]\frac{1}{(-X)+1}[/mm]. Das ist nicht gleich f(x).
> Dann f-(-x) = - [mm]\frac{1}{(-X)+1}[/mm]. Dadurch wird doch das
> x wieder positiv und die Funktion - f (-x) ist gleich f(x)
Wenn eine Punktsymmetrie zum Ursprung vorläge, so gilt für jedes $x$
$f(x)=-f(-x)$, also zum Bsp.: für $x=2$
[mm] $\frac{1}{2+1}=-\frac{1}{-2+1}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{3}=-\frac{1}{-1}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{3}=1$
[/mm]
und das stimmt ja absolut nicht!
>
>
>
> Hmm, wie Du auf die erste Ableitung gekommen bist, versteh
> ich ja wieder... Klar, da muss ein Minuszeichen davor. Wie
> aber kommt man auf die zweite Ableitung? Kannst Du mir noch
> einmal helfen?
> Um nur einmal den Zähler aufzuschreiben:
>
> -1* [mm](x+1)^2[/mm] - (-1) * 2(x+1) * x
>
> Man klammert das (x+1) aus und kürzt es weg. Dann erhält
> man im Zähler:
> -x -1 + 2x
Also leiten wir die erste Ableitung ab:
$ f'(x) = [mm] -\bruch{1}{(x+1)^2} [/mm] $
[mm] $\rightarrow f''(x)=-\frac{0*(x+1)^2-1*(2x+2)}{(x+1)^4}$
[/mm]
jetzt können wir die $2$ vorklammern:
[mm] $f''(x)=\frac{2(x+1)}{(x+1)^4}$
[/mm]
und nun kürzen.
Jetzt sollte es klar sein.
> Wo liegt mein Fehler?
> Schöne Grüße, Jana
Liebe Grüße
Fugre
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Jana86 |
DANKESCHÖN!!
Ja, jetzt habe ich alles verstanden... War gar nicht so schwer, ich bin nur zu doof ;)
Wie Du vielleicht schon in der Mitteilung an Loddar gelesen hast, hab ich Deine Antwort nur aus Versehen als fehlerhaft markiert. Das ist mir erst gar nicht aufgefallen. Wie gesagt, tut mir leid.
Schönen Dank nochmal, Jana
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jana!
Ich habe mir die Antwort von Fugre durchgelesen und konnte keine Fehler entdecken.
Wo ist denn Deiner Meinung nach ein Fehler?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Jana86 |
Entschuldige, ich wollte eigentlich gar nicht auf Fehler klicken.... Ist ja auch kein Fehler drin! Ich wollte eine Antwort schreiben, habe ich mich aber sozusagen "verklickt"....Sorry, Jana
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Loddar |
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> Ich wollte eine Antwort schreiben, habe ich mich aber sozusagen
> "verklickt"....Sorry, Jana
Ich habe es korrigiert ...
Gruß
Loddar
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[mm] $\ID=\IR\{-1}$
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, da der Zähler 1=0 ergibt.
Quotientenregel