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| Aufgabe | | [mm] f(x)=x^2e^{-x} [/mm] (gemeint ist e hoch minus x, falls ich das falsch eingegeben habe) |
Hallo ich hab paar Fragen zu der oberen Gleichung.
1)Woran erkenne ich, ob ich die Ketten- oder die Produktregel anwenden muss? Gibt es irgendwas, woran man sofort erkennen kann, dass es Kettenregel oder Produktregel ist?
Bei der oberen hab ich zwar die Lösung, dass es die Kettenregel ist udn die erste Ableitung würde lauten [mm] f'(x)=xe^{-x}(2-x)
[/mm]
Ich weiß aber nicht wie ich auf 2-x kommen soll?
Kann mir jemand kurz aufschriebn wie man auf die ableitung kommt?
Wieso muss ich bei dieser Gleichung [mm] f(x)=xe^x [/mm] produktregel einsetzten und keine kettenregel?
2)Wie geht man vor bei der Bestimmung des Randverhalten?
Bei der oberen Funktion ist es + unendlich=0, minus unendlich läuft gegen plus unendlich.
Wie bestimmt man soetwas?
Muss irgendwie für x z. B eine positive Zahl einsetzte und dann schauen, ob die positvi oder negativ ist aber wie sehe ich, dass die gegen 0 läuft?
Grüße
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Zu 1):
Die Produktregel muss immer dann angewendet werden, wenn ein Produkt vorkommt, bei dem beide Faktoren die Variable enthalten, nach der abgeleitet wird.
Die Kettenregel wird hier benötigt, weil die Funktion [mm]e^a[/mm] hier mit der Funktion a=-x verkettet ist. Es sind also sozusagen, zwei Funktionen in einer.
Die Ableitung mit Produkt- und Kettenregel würde so lauten:
[mm]f'(x) = 2x * e^{-x} + x^2 * e^{-x} * (-1)[/mm]
Daraus wurde dann einfach [mm]xe^{-x}[/mm] ausgeklammert und man kommt auf das, was du geschrieben hast.
Bei f(x) = [mm]xe^x[/mm] brauchst du die Kettenregel nicht, weil [mm]e^x[/mm] mit keiner anderen Funktion verkettet ist. Würdest du das x im Exponenten als Funktion betrachten und sie ableiten, kämst du auf 1 und mal 1 ergibt das Gleiche, also kann man die Kettenregel hier weglassen.
Zu 2):
Also, soweit ich weiß, schätzt man das einfach ab. Du guckst dir halt an, wie e sich verändert, wenn es mit etwas sehr großen potenziert wird oder mit etwas sehr kleinem.
Liebe Grüße, Sabrina
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Hallo,
vielen Dank für deine Antwort Princess17 ;)
Aber die zweit Frage ist für mich immer noch nicht ganz geklärt, weil das anscheinend genau (?) ausgerechnet werden muss, jendenfalls würde ich nie auf eine 0 kommen...
Weiß vielelicht jemand wie man dieses Randverhalten ausrechnen bzw. bestimmt?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Mi 06.01.2010 | | Autor: | chrisno |
Auf Grundkursniveau würde ich sagen, dass es keine andere Chance gibt, als das einfach zu wissen. Herleiten wird schwierig (ich müsste selbst erst mal nachdenken).
Vielleicht gibt es aber jemand, der da einen einfachen Zugang kennt, daher lasse ich es auf teilwese beantwortet.
Wissen:
Verhalten von [mm] e^x [/mm] für |x| -> [mm] \infty [/mm] und [mm] e^x [/mm] dominiert für große Werte von |x| jede Potenzfunktion.
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Hallo,
schau doch mal hier:
http://www.integralgott.de/diffr/dregelprod.htm
LG
pythagora
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> [mm]f(x)=x^2e^{-x}[/mm]
[mm] f(x)=\frac{x^{2}}{e^{x}}
[/mm]
Also um das asymptotische Verhalten für [mm] x\to\infty [/mm] zu untersuchen musst du hier die Regel von L'Hospital anwenden, (die allerdings kein Schulstoff ist). Du hast quasi einen Bruch, bei dem der Zähler und Nenner gegen unendlich laufen für [mm] x\to\infty. [/mm] Die Regel von L'Hospital besagt, dass du dann einfach Zähler und Nenner nach x ableiten kannst und dann nochmal x gegen unendlich laufen lässt dann steht da quasi [mm] \frac{2x}{e^{x}} [/mm] (je den Zähler und Nenner für sich nach x abgeleitet).
Hier stellst du fest, dass du das gleiche Problem hast, da wieder beide gegen unendlich laufen. Also nochmal L'Hospital anwenden, also Zähler und Nenner separat nach x ableiten, dann steht da [mm] \frac{2}{e^{x}}. [/mm] Lässt du nun [mm] x\to\infty [/mm] dann stellst du fest, dass der Term gegen 0 geht, da 2 konstant ist und der Nenner immer größer wird.
Wie gesagt, das ist kein Schulstoff.
Daher würde ich so begründen, dass die Exponentialfunktion asymptotisch (also für [mm] x\to\infty) [/mm] schneller gegen unendlich strebt als [mm] x^{2}.
[/mm]
Hoffe es war einigermaßen verständlich.
mfg piccolo
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