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| Aufgabe | Für die Funktion [mm] f(x)=\bruch{x^{3}+x}{x-1}; D_f=\IR\backslash\{1\} [/mm] ist zu zeigen:
a) Der Graph [mm] G_f [/mm] hat eine senkrechte Asymptote und nähert sich für [mm] |x|\to\infty [/mm] einer nach oben geöffneten Parabel mit dem Scheitel [mm] S(-0,5/\bruch{7}{4}).
[/mm]
b) Für x<1 verläuft der Graph unter, für x>1 über der Parabel.
c) [mm] G_f [/mm] hat im Bereich [1,5;2] ein lokales Minimum |
moin,
a)Es gibt eine sekrechte Asymptote bei 1, da Def.Lücke.
Ich mache eine Polynomdivision mit dem Ergebnis:
[mm] f(x)=x^2+x+\bruch{2x}{x-1}
[/mm]
ich definiere nun [mm] g(x)=\bruch{2x}{x-1}
[/mm]
[zur Arbeitseinsparung; ist das willkürliche definieren von Zwischenergebnissen erlaubt?]
Nun verwende ich die allg. Scheitelform:
[mm] (x+1)^2+\bruch{7}{4}=(x^2+x+\bruch{1}{4})+\bruch{7}{4}=x^2+x+2
[/mm]
Nun berechne ich:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}g(x)=2
[/mm]
Somit habe ich 2 mal das Ergebnis [mm] x^2+x+2, [/mm] worauf These meiner Meinung nach begründet ist.
b) [mm] g(x)=\begin{cases} negativ, & \mbox{für } x \mbox{ <1 } \\ positiv, & \mbox{für } x \mbox{ >1} \end{cases}
[/mm]
somit Annäherung für x<1 von unten und umgekehrt.
c) Hier habe ich Probleme. Als finales Ergebnis der Ableitung habe ich:
[mm] \bruch{2x^3-2x-1-x^3}{(x-1)^2}
[/mm]
Leider finde ich keine NST. Kann mir jemand einen Tipp geben?
Danke schonmal, mfg Michael
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oha...ok, leichte Anpassungen:
[wäre mein Fehler oben wirklich ein Fehler? denn die Polynomdivision stimmt ja trotzdem, auch wenn ich sie nicht ganz zu ende geführt habe.]
moin,
a)Es gibt eine sekrechte Asymptote bei 1, da Def.Lücke.
Ich mache eine Polynomdivision mit dem Ergebnis:
[mm] f(x)=x^2+x+2+\bruch{2}{x-1}
[/mm]
ich definiere nun [mm] g(x)=\bruch{2}{x-1}
[/mm]
[zur Arbeitseinsparung; ist das willkürliche definieren von Zwischenergebnissen erlaubt?]
Nun verwende ich die allg. Scheitelform:
[mm] (x+0,5)^2+\bruch{7}{4}=(x^2+x+\bruch{1}{4})+\bruch{7}{4}=x^2+x+2
[/mm]
Nun berechne ich:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}g(x)=0
[/mm]
Somit habe ich 2 mal das Ergebnis [mm] x^2+x+2, [/mm] worauf These meiner Meinung nach begründet ist.
b) [mm] g(x)=\begin{cases} negativ, & \mbox{für } x \mbox{ <1 } \\ positiv, & \mbox{für } x \mbox{ >1} \end{cases}
[/mm]
somit Annäherung für x<1 von unten und umgekehrt.
c) Hier habe ich Probleme. Als finales Ergebnis der Ableitung habe ich:
[mm] \bruch{2x^3-2x-1-x^3}{(x-1)^2}
[/mm]
Leider finde ich keine NST. Kann mir jemand einen Tipp geben?
Danke schonmal, mfg Michael
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Polynomdivision![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
