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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:31 Di 06.10.2009 | | Autor: | DerRicker |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x) = (x+9)/(4x+16).
a) Gib den maximal möglichen Definitionsbereich an!
b) Berechne lim x--> +oo über f(x)!
c) Für welche x-Werte gilt |f(x)-a| < [mm] \varepsilon [/mm] mit einem beliebigen [mm] \varepsilon> [/mm] 0? Wie groß muss ein Wert Xo mindestens gewählt werden, wenn [mm] \varepsilon= [/mm] 1/600?
d) Untersuche das Verhalten der Funktion in der Umgebung der Definitionslücke! |
Hallo,
ich werde einfach mal die einzelnen Teilaufgaben durchgehen:
a) Ist ja an sich einfach, D= R \ {-4}
b) Dieser Grenzwert müsste ja 0,25 sein, wenn mich nicht alles täuscht, ist ja auch noch machbar.
c) Hier habe ich ehrlich gesagt absolut keine Ahnung. Ich habe so eine Aufgabenstellung noch nie gesehen, und mir ist auch nicht so eindeutig ersichtlich, was genau hier gesucht ist, geschweige denn welchen Ansatz ich verwenden muss.
d) Wenn man sich den Graf anschaut, sieht man ja, dass er im Bereich von -4 gegen +oo bzw. -oo geht. Aber wie kann ich das rechnerisch beweisen?
So, das wären erstmal meine Fragen/Probleme. Wäre sehr nett wenn mir jemand bei c) und d) weiterhelfen könnte, Dankeschön schonmal im Voraus :).
Rick
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo DerRicker,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben ist die Funktion f(x) = (x+9)/(4x+16).
>
> a) Gib den maximal möglichen Definitionsbereich an!
> b) Berechne lim x--> +oo über f(x)!
> c) Für welche x-Werte gilt |f(x)-a| < [mm]\varepsilon[/mm] mit
> einem beliebigen [mm]\varepsilon>[/mm] 0? Wie groß muss ein Wert
> Xo mindestens gewählt werden, wenn [mm]\varepsilon=[/mm] 1/600?
> d) Untersuche das Verhalten der Funktion in der Umgebung
> der Definitionslücke!
> Hallo,
>
>
> ich werde einfach mal die einzelnen Teilaufgaben
> durchgehen:
>
> a) Ist ja an sich einfach, D= R \ {-4}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) Dieser Grenzwert müsste ja 0,25 sein, wenn mich nicht
> alles täuscht, ist ja auch noch machbar.
Der Grenzwert stimmt.
Jetzt mußt Du das nur noch beweisen.
>
> c) Hier habe ich ehrlich gesagt absolut keine Ahnung. Ich
> habe so eine Aufgabenstellung noch nie gesehen, und mir ist
> auch nicht so eindeutig ersichtlich, was genau hier gesucht
> ist, geschweige denn welchen Ansatz ich verwenden muss.
Das Stichwort hier heißt, wie auch bei b) Polynomdivision.
Aus dieser Teilaufgabe geht nicht hervor, daß a der Grenzwert ist.
Berechne hier [mm]f\left(x\right)-a[/mm].
Davon ist der Betrag zu nehmen:
[mm]\vmat{f\left(x\right)-a} < \varepsilon[/mm]
Hier sind dann zwei Fallunterscheidungen möglich:
i) 4x+16 > 0
ii) 4x+16 < 0
>
> d) Wenn man sich den Graf anschaut, sieht man ja, dass er
> im Bereich von -4 gegen +oo bzw. -oo geht. Aber wie kann
> ich das rechnerisch beweisen?
>
Betrachte einmal das Verhalten, für [mm]x \to -4, \ x < -4[/mm]
und für [mm]x \to -4, \ x > -4[/mm]
Berechne also
[mm]\limes_{x \rightarrow -4, \ x < -4}f\left(x\right)[/mm]
und
[mm]\limes_{x \rightarrow -4, \ x > -4}f\left(x\right)[/mm]
>
> So, das wären erstmal meine Fragen/Probleme. Wäre sehr
> nett wenn mir jemand bei c) und d) weiterhelfen könnte,
> Dankeschön schonmal im Voraus :).
>
>
> Rick
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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Okay, vielen Dank schonmal, aber bei c) bin ich leider immer noch nicht sicher, wie ich ansetzen soll.
Wie kann denn der Betrag |f(x)-a| kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] sein, wenn [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ist. Das würde ja heißen, dass dieser Betrag < 0 sein müsste, aber ein Betrag kann doch eig. gar nicht < 0 sein...!?
Außerdem stellt sich mir die Frage, wie ich in diesem Fall mit Polynomdivision vorgehen soll... Mir ist die Polynomdivision bisher nur als Mittel beispielsweise zum Bestimmen der Nst. einer höhergradigen Funktion bekannt.
Wäre sehr freundlich, wenn darauf jemand noch einmal genauer eingehen könnte.
Rick :)
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Hallo Rick,
> Okay, vielen Dank schonmal, aber bei c) bin ich leider
> immer noch nicht sicher, wie ich ansetzen soll.
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> Wie kann denn der Betrag |f(x)-a| kleiner als [mm]\varepsilon[/mm]
> sein, wenn [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ist. Das würde ja heißen, dass
> dieser Betrag < 0 sein müsste ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein. Der Betrag soll nur sehr klein werden (zwischen
Null und [mm] \varepsilon [/mm] liegend).
Das a steht ja wohl für den Grenzwert [mm] \frac{1}{4} [/mm] , den
du unter b) schon angegeben hast. Um zu zeigen, dass
dies nun wirklich der Grenzwert von f(x) für [mm] x\to\infty [/mm] ist,
muss man nun nachweisen, dass |f(x)-a| wirklich beliebig
klein wird, wenn man nur das x genügend groß wählt.
Für diesen Nachweis haben wir es also mit der Ungleichung
[mm] |f(x)-a|<\varepsilon
[/mm]
zu tun, hier:
[mm] $\left|\frac{x+9}{4\,x+16}-\frac{1}{4}\right|<\varepsilon$
[/mm]
Zwischen den Absolutstrichen auf gleichen Nenner gebracht:
[mm] $\left|\frac{x+9}{4\,x+16}-\frac{x+4}{4\,x+16}\right|<\varepsilon$
[/mm]
und zusammengefasst:
[mm] $\left|\frac{5}{4\,x+16}\right|<\varepsilon$
[/mm]
Jetzt bleibt noch diese Ungleichung aufzulösen.
In der Aufgabe war vermutlich gemeint, dass man
sich dabei auf positive x beschränken kann, weil es
ja um den Grenzwert für [mm] x\to\infty [/mm] ging.
Allerdings hat die Ungleichung auch negative Lösungen.
> Außerdem stellt sich mir die Frage, wie ich in diesem Fall
> mit Polynomdivision vorgehen soll... Mir ist die
> Polynomdivision bisher nur als Mittel beispielsweise zum
> Bestimmen der Nst. einer höhergradigen Funktion bekannt.
Polynomdivision braucht man hier nicht unbedingt,
aber es wäre auch ein möglicher Weg:
$\ f(x)\ =\ [mm] \frac{x+9}{4\,x+16}\ [/mm] =\ [mm] (x+9):(4\,x+16)\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{\frac{1}{4}}_a+\,\underbrace{..................................}_{Term,\, der\ gegen\ Null\ strebt}$
[/mm]
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