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hi,
noch eine frage. ich folgende goniometrische gleichung:
f(x) = sin2x +2sinx 0 bis [mm] 2\pi
[/mm]
f'(x) = -2sinxcosx + 2cosx
f''(X) = 2sinxcosx - 2sinx
f'''(x) = -2sinxcosx - 2cosx
ich soll die nullpunkte, extremstellen und wendepunkte für die aufgabe bestimmen. aber wie? vielleicht kann ja einer f(x) mal nach 0 auflösen. die anderen schaff ich dann vielleicht schon selber.
danke,
jan
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Hi, Halebob,
Der Reihe nach: Zur Nullstellenberechnung musst Du die Formel verwenden:
sin(2x)=2sin(x)*cos(x).
Dann kannst Du sin(x) ausklammern:
sin(x)*(2cos(x)+2)=0.
NS: sin(x) = 0 [mm] \vee [/mm] cos(x) = -1
Nun zu den Ableitungen:
f'(x) = 2*cos(2x) + 2*cos(x)
(Wie bist Du auf Dein Ergebnis gekommen? System? KETTENREGEL beachten!)
f''(x) = -4sin(2x) - 2sin(x)
Zum 0-Setzen der Ableitungen verwendest Du - wie bei den Nullstellen - die Umformungen zum doppelten Winkel. Zum Lösen musst Du entweder (wie bei den NS) ausklammern oder auch mal substituieren (z.B. z=cos(x) beim Nullsetzen der 1. Ableitung).
Try it!
mfG!
Zwerglein
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hi,
ich dachte
f(x) = sin(2x) + 2sinx
könnte ich so darstellen
f(x) = 2sinxcosx + 2sinx
stimmt ja auch, aber leider habe ich bei der ableitung die produktregel übergangen und deshalb kommt das bei mir raus:
f'(x) = -2sinxcosx + 2cosx
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hi,
trotz zwergleins hilfe komm ich bei den extremstellen nicht weiter. die nullstellen hab ich jetzt. aber wenn ich f'(x) = 0 setze, kommt nicht das gesuchte ergebnis raus.
[mm] x_1 [/mm] = 1,05
[mm] x_2 [/mm] = 5,24 sind die lösungen an die ich nicht rankomme.
hier ist meine rechnung:
f'(x) = 0
2cos(2x) + 2cos(x) = 0
[mm] 2cos^2(x) [/mm] - [mm] 2sin^2(x) [/mm] + 2cos(x) = 0 [mm] ;cos^2(x) [/mm] - [mm] sin^2(x) [/mm] = [mm] 2cos^2(x) [/mm] - 1
[mm] cos^2(x) [/mm] - [mm] sin^2(x) [/mm] + cos(x) = 0
[mm] 2cos^2(x) [/mm] - 1 + cos(x) = 0 ; [mm] z^2 [/mm] = [mm] cos^2(x)
[/mm]
[mm] z^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}z [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
nach p/q-Formel:
[mm] z_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] z_2 [/mm] = [mm] \bruch{-5}{4}
[/mm]
[mm] arcsin(z_1) [/mm] = 0,366
[mm] z_2 [/mm] ist keine lösung weil [mm] z_2 [/mm] < -1
falls der weg richtig sein sollte, dann weiß ich nur nicht wie es weiter geht.
jan
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Hi, Halebob,
also: Aus f'(x) = 0 erhält man:
cos(2x) + cos(x) = 0 bzw. [mm] 2*cos^{2}(x) [/mm] + cos(x) -1 = 0.
Substitution z=cos(x) ergibt eine quadrat.Gl. mit den Lösungen:
z=-1 bzw. z=0,5.
1. Fall: cos(x)=-1 => [mm] x=\pi.
[/mm]
2. Fall: cos(x)=0,5 => [mm] x=\bruch{\pi}{3} [/mm] (ungefähr 1,05)
sowie: [mm] x=\bruch{5}{3}\pi [/mm] (ungefähr 5,236)
Wo liegt Dein Problem?
mfG!
Zwerglein
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ok danke,
jetzt hab ichs, hatte einen ganz dummen fehler. statt mit -0,25 ... habe ich mit -0,5 gerechnet.
aber ich weiß nicht wie du auf die [mm] \bruch{5\pi}{3} [/mm] kommst
jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Di 01.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Halebob,
wenn man Lösungen für goniometrische Gleichungen sucht, ist es fast unumgänglich, sich die Situation zu skizzieren!
Wenn Du Dir nun also die Gleichung cos(x)=0,5 veranschaulichen willst, zeichnest Du den Cosinus zwischen 0 und [mm] 2\pi [/mm] sowie eine waagrechte Gerade y=0,5.
Diese Gerade schneidet die Cosinuslinie im gewünschten Bereich offensichtlich 2-mal: einmal bei x= [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] (Taschenrechner: 1,047).
Nun macht man sich an der Zeichnung rasch klar, wo die zweite Stelle liegt: genausoweit links von [mm] 2\pi [/mm] wie die erste Stelle rechts von 0 liegt; demnach:
[mm] x=2\pi-\bruch{\pi}{3} [/mm] = [mm] \bruch{5}{3}\pi.
[/mm]
(Analog bekäme man die 2. Stelle beim Sinus! Aber ohne Skizze: schwer, schwer, schwer!)
mfG!
Zwerglein
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aha,
jetzt kapier ichs. ist ja eigentlich ganz logisch. vielen dank dafür und sorry dass ich dich damit genervt habe, aber das ist bei mir alles schon etwas her, als ich das in der schule hatte.
jan
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