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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Mi 24.09.2008
Autor: DaniSan22

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo zusammen:

Wollt  fragen, ob ihr mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen könnt.

Vielen Dank im Vorraus.

f(x)= [mm] \wurzel{x}\*(A-ln [/mm] x)                         a>0  [mm] x\in\IR+ [/mm]

f(x) [mm] =x^{\bruch{1}{2}}*(A-ln [/mm] x)

1) Alle Nullstellen bestimmen

[mm] x^{\bruch{1}{2}}=0 [/mm]                  
x=0                                                        

A-lnx=0
lnx    =A                                                                
x  [mm] =e^{A} [/mm]

[mm] N_{1}=(0/0) [/mm]
[mm] N_{2}=(e^{A}/0) [/mm]

2) Grenzwert von x=>0

[mm] \limes_{x\rightarrow\0}=\infty [/mm]
Da weiß ich leider nicht weiter.

3) Extremstellen

f'(x)= [mm] \bruch{1}{2}x^{\bruch{-1}{2}}(A-lnx)+x^{\bruch{1}{2}}(-\bruch{1}{x}) [/mm]

[mm] =\bruch{1}{2} \bruch{1}{\wurzel{x}}(A-lnx) -\bruch{\wurzel{x}}{x} [/mm]
[mm] =\bruch{A-lnx}{2\wurzel{x}}-\bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm]

[mm] f"(x)=\bruch{-\bruch{1}{x}\*2\wurzel{x}-x^{-\bruch{1}{2}\*(A-lnx)}}{4x}+\bruch{1}{2}x^{-\bruch{3}{2}} [/mm]

[mm] =\bruch{-\bruch{2\wurzel{x}}{x}-x^{-\bruch{1}{2}}(A-lnx)}{4x}+\bruch{1}{2}x^{-\bruch{3}{2}} [/mm]

notw. Bed. für Extremwerte:
1. Schritt
f´(x)=0
[mm] \bruch{A-lnx}{2\wurzel{x}}-\bruch{1}{\wurzel{x}}=0 /\*\wurzel{x} [/mm]
[mm] \bruch{A-lnx}{2}-1=0 /\*2 [/mm]
A-lnx-2=0
lnx=A-2
x= [mm] e^{A-2} [/mm]                

2.Schritt  x= [mm] e^{A-2} [/mm] einsetzen in f"(x)
Krieg ich nicht hin
3.Schritt  x= [mm] e^{A-2} [/mm] einsetzen in f(x)
f(x) [mm] =\wurzel{e^{A-2}}\*(A-ln(e^{A-2})) [/mm]
      [mm] =\wurzel{e^{A-2}}\*(-2) [/mm]
f(x) = [mm] -2\wurzel{e^{A-2}} [/mm]                          

[mm] (e^{A-2}/-2\wurzel{e^{A-2}}) [/mm]

4. quadratische Näherung im Punkt [mm] x_{0}=1 [/mm]
Formel:  [mm] f(x)=f(x_{0})+\bruch{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\bruch{f"(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}... [/mm]
        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 Mi 24.09.2008
Autor: Zwerglein

Hi, Dani,

> f(x)= [mm]\wurzel{x}\*(A-ln[/mm] x)                         a>0  

also A > 0 ?

> [mm]x\in\IR+[/mm]

> f(x) [mm]=x^{\bruch{1}{2}}*(A-ln[/mm] x)
>
> 1) Alle Nullstellen bestimmen
>  
> [mm]x^{\bruch{1}{2}}=0[/mm]                  
> x=0                                                        

Achtung! x [mm] \in \IR^{+} [/mm]  => x [mm] \not= [/mm] 0 !!!

> A-lnx=0
> lnx    =A                                                  
>              
> x  [mm]=e^{A}[/mm]
>  
> [mm]N_{1}=(0/0)[/mm]

Das ist KEINE Nullstelle! (siehe oben!)

>  [mm]N_{2}=(e^{A}/0)[/mm]

  
[ok]

> 2) Grenzwert von x=>0
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}=\infty[/mm]

[notok]

Das musst Du mit der Regel von de L'Hospital lösen; am Ende kommt 0 als Grenzwert raus.

Ansatz: [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{A-ln(x)}{x^{-0,5}} [/mm] = ... = 0

>  
> 3) Extremstellen
>  
> f'(x)=
> [mm]\bruch{1}{2}x^{\bruch{-1}{2}}(A-lnx)+x^{\bruch{1}{2}}(-\bruch{1}{x})[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1}{2} \bruch{1}{\wurzel{x}}(A-lnx) -\bruch{\wurzel{x}}{x}[/mm]
>  
>  [mm]=\bruch{A-lnx}{2\wurzel{x}}-\bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm]

Könntest Du auch auf 1 Bruchstrich schreiben:

f'(x) = [mm] \bruch{A-lnx-2}{2\wurzel{x}} [/mm]
  
> [mm]f"(x)=\bruch{-\bruch{1}{x}\*2\wurzel{x}-x^{-\bruch{1}{2}\*(A-lnx)}}{4x}+\bruch{1}{2}x^{-\bruch{3}{2}}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{-\bruch{2\wurzel{x}}{x}-x^{-\bruch{1}{2}}(A-lnx)}{4x}+\bruch{1}{2}x^{-\bruch{3}{2}}[/mm]

Das könnte man aber auch noch stark vereinfachen, aber bis dahin stimmt's!
  
> notw. Bed. für Extremwerte:
>  1. Schritt
>  f´(x)=0
>   [mm]\bruch{A-lnx}{2\wurzel{x}}-\bruch{1}{\wurzel{x}}=0 /\*\wurzel{x}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{A-lnx}{2}-1=0 /\*2[/mm]
>   A-lnx-2=0
>  lnx=A-2
>  x= [mm]e^{A-2}[/mm]                

[ok]

> 2.Schritt  x= [mm]e^{A-2}[/mm] einsetzen in f"(x)
>  Krieg ich nicht hin

Vereinfach doch mal f''(x) - dann wird's sicher leichter!
Es muss jedenfalls f"(...) < 0 rauskommen, was zu einem HOCHpunkt führt!

>  3.Schritt  x= [mm]e^{A-2}[/mm] einsetzen in f(x)
>  f(x) [mm]=\wurzel{e^{A-2}}\*(A-ln(e^{A-2}))[/mm]
>        [mm]=\wurzel{e^{A-2}}\*(-2)[/mm]

Da ist ein Vorzeichenfehler drin; richtig wäre hier:
[mm] \wurzel{e^{A-2}}\*(A [/mm] - (A-2)) = [mm] \wurzel{e^{A-2}}\*(+2) [/mm]

Bereits verbessert: [mm]H(e^{A-2} / +2\wurzel{e^{A-2}})[/mm]

> 4. quadratische Näherung im Punkt [mm]x_{0}=1[/mm]
>  Formel:  
> [mm]f(x)=f(x_{0})+\bruch{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\bruch{f"(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}...[/mm]

Gehört das bei Euch zur Kurvendiskussion?
Muss da kein spezielles A vorgegeben werden?

mfG!
Zwerglein  

Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Mi 24.09.2008
Autor: DaniSan22

Hi Zwerglein!
Vielen Dank für deine Bemühungen!
Hab da nochmal ne Frage zur Kurvendiskussion.
Eine weitere mögliche Prüfungsaufgabe!
f(x) = [mm] (A*tan)^{2} [/mm]
wie beomme ich die erste Ableitung raus?
Äußere mal innere Ableitung?

Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Mi 24.09.2008
Autor: Bastiane

Hallo DaniSan22!

> Hi Zwerglein!
>  Vielen Dank für deine Bemühungen!
>  Hab da nochmal ne Frage zur Kurvendiskussion.
>  Eine weitere mögliche Prüfungsaufgabe!
>  f(x) = [mm](A*tan)^{2}[/mm]
>  wie beomme ich die erste Ableitung raus?
>  Äußere mal innere Ableitung?

Meinst du [mm] f(x)=(A*\tan(x))^2? [/mm] Ansonsten wäre die Ableitung =0, da kein x drin vorkommt. ;-) Ach ja, und für neue Aufgaben mache bitte auch eine neue Frage auf.
Die Ableitung kannst du in der Tat mit der MBKettenregel berechnen.

Viele Grüße
Bastiane
[cap]
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