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Kurvendiskussion: Aufstellen der Fkt. Gleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 So 02.04.2006
Autor: Stromberg

Aufgabe
Eine Parabel 4. Ordnung ist symmetrisch zur x-Achse und hat in W(1/2) einen Wendepunkt, dessen Wendetangente durch den Ursprung verläuft.
Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion

Hallo,

auch diese Frage habe ich in keinem weiteren Forum gestellt.

Bei dieser Aufgabe ging mein Mathelehrer wie folgt vor:

y(1) = 2 ...y an der Stelle 1 = 2
y''(1) = 0 ...y'' (2. Ableitung) an der Stelle 1 = 0
y'(1) = 2 ...y' (1. Ableitung) an der Stelle 1 = 2

Bitte kann mir jemand seine Vorgehensweise erklären?

Den ersten Schritt mit "y an der Stelle 1 ist 2" kann ich nachvollziehen und dieser ist mir soweit auch klar.
Aber die beiden weiteren leider nicht.

Viele Grüße
Stephan

        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:22 So 02.04.2006
Autor: MxM

Hi

Ich gehe jetzt mal davon aus, dass das in der Fragestellung heißen sollte "Symmetrisch zu y-Achse", nicht zur x-Achse  da es ansonsten keine Funktion mehr wäre.

Gesucht ist ja eine Funktion der Form [mm] f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e [/mm] (Parabel 4. Ordnung), folglich benötigen wir, um die 5 Parameter a bis e berechnen zu können ein lineares Gleichungssystem mit 5 "Informationen".

Zählen wir mal, was wir Informationen wir haben:

Eine hast du bereits erkannt: f(1)=2 .

Das heisst, die erste Gleichung für unser LGS lautet

[mm] a*1^4+b*1^3+c*1^2+d*1+e = 2 [/mm]

Es fehlen also noch 4 weitere.
Wir wissen, dass im Punkt (1|2) ein Wendepunkt ist, folglich gilt für die 2. Ableitung [mm] f''(1)=0 [/mm]

Also bilden wir die  2. Ableitung:

[mm] f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d f''(x)=12ax^2+6bx+2c [/mm]

Setzten wir nun den Wendepunkt ein lautet die Gleichung:

[mm] 0=12a*1^2+6b*^+2c [/mm]

Jetz haben wir also schon 2 Gleichungen.

Vielleicht kannst du von hier an alleine weiterrechnen wenn du bedenkst, was für eine Steigung f(x) im Punkt (1|2) ([mm]f'(x)=?[/mm]) hat wenn die Tangente durch diesen Punkt durch den Punkt (0|0) gehen soll (aufmalen hilft wenn du es nicht sofort hinkriegst).
Außerden wissen wir ja, dass das was für den Punkt (1|2) gilt , auf Grund der Symmetrie auch für den Punkt (-1|2) gilt. Der Spiegelpunkt ist also auch Wendepunkt und seine Tangente geht auch durch den Ursprung. Probier mal ob du es jetzt hinkriegst, wenn nicht, mald dich wieder ;)

MfG
MxM

Bezug
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