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| Aufgabe | Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D(f) von f in [mm] \IR, [/mm] die Grenzwerte bzw. einseitigen Grenzwerte für x [mm] \to [/mm] a für alle a [mm] \in [/mm] ( [mm] \IR \cup [/mm] { [mm] \infty, -\infty [/mm] } \ D(f). Untersuchen Sie f auf Monotonie. Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit der x-Achse und mit der y-Achse. Skizzieren Sie den Graphen von f, ohne weitere Funktionswerte auszurechnen und ohne ein Computerprogramm zu benutzen.
f(x)= [mm] \bruch{2(-1+x^{2})x}{(-4+x^{2})|x|}
[/mm]
Hinweis: [mm] f(x)=a+\bruch{b}{x+c} [/mm] für x [mm] \in [/mm] d(f) mit Konstanten y,b,c [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] f(x)=a+\bruch{b}{x^{2}+c} [/mm] für x [mm] \in [/mm] d(f) mit Konstanten y,b,c [mm] \in \IR [/mm] |
Ich muss die Funktion ja irgendwie mit Hilfe des Hinweises umformen, ich habe aber keine Ahnung wie ich das anzustellen habe, ich habe bisher nur:
f(x) = [mm] \bruch{2x(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)|x|}
[/mm]
D(f) = [mm] \IR [/mm] \ { 2, -2, 0 }
Beim limes hab ich keine Ahnung
Schnittpunkt mit x-Achse:
f(x)=0
2x(x-1)(x+1)=0
[mm] (2x^{2}-2x)(x+1)=0
[/mm]
[mm] 2x^{3}+2x^{2}-2x^{2}-2x=0
[/mm]
[mm] 2x^{3}-2x=0
[/mm]
[mm] x(2x^{2}-2)=0
[/mm]
x=1 x=-1 x=0
Schnittpunkt mit y-Achse:
x=0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(0)= [mm] \bruch{0}{0} \Rightarrow [/mm] kein Schnittpunkt
Monotonie:
Da ich die Funktion nicht umgestellt bekomme habe ich auch hier leider keinen Ansatz.
Und bei dem was ich habe bin ich mir auch nicht sicher.
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Hallo,
ich will hier nicht gleich alles irgendwie abarbeiten. Sondern lass uns lieber mal Schritt für Schritt die Sache bearbeiten. Ich denke so kommen wir eher ans Ziel.
> Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D(f) von f
> in [mm] \IR [/mm] die Grenzwerte bzw. einseitigen Grenzwerte für [mm] x\to{a} [/mm] für alle [mm] a\in\IR\cup\{\infty,-\infty\}\setminus{D(f)}. [/mm]
> Untersuchen Sie f auf Monotonie. Bestimmen Sie die
> Schnittpunkte des Graphen von f mit der x-Achse und mit der
> y-Achse. Skizzieren Sie den Graphen von f, ohne weitere
> Funktionswerte auszurechnen und ohne ein Computerprogramm
> zu benutzen.
>
> [mm] f(x)=\bruch{2(-1+x^{2})x}{(-4+x^{2})|x|}
[/mm]
>
> [mm] D(f)=\IR\setminus\{2,-2,0\}
[/mm]
Stimmt!
>
> Beim limes hab ich keine Ahnung
Gut, dann berachten wir erst einmal den Grenzwert [mm] x\to+\infty.
[/mm]
Was passiert denn erst einmal mit |x| wenn x>0? Ja, Für x>0 ist natürlich |x| einfach nur x selbst. Von daher können wir die Grenzwertbetrachtung reudzieren auf:
[mm] f(x)=\frac{2(-1+x^{2})x}{(-4+x^{2})x}=\frac{2(-1+x^{2})}{(-4+x^{2})}=2\frac{\frac{-1}{x^2}+1}{\frac{-4}{x^2}+1}
[/mm]
Kannst du jetzt [mm] \lim_{x\to\infty}f(x) [/mm] bilden?
Was ändert sich denn, wenn du [mm] y\to-\infty [/mm] betrachtest?
Klären wir das erst einmal. Dann schauen wir weiter, ok?
>
> Schnittpunkt mit x-Achse:
> f(x)=0
> 2x(x-1)(x+1)=0
> [mm](2x^{2}-2x)(x+1)=0[/mm]
> [mm]2x^{3}+2x^{2}-2x^{2}-2x=0[/mm]
> [mm]2x^{3}-2x=0[/mm]
> [mm]x(2x^{2}-2)=0[/mm]
> x=1 x=-1 x=0
Das ist soweit korrekt, ABER: [mm] x\notin{D(f)}, [/mm] also für x=0 ist ja deine Funktion gar nicht definiert.
>
> Schnittpunkt mit y-Achse:
> x=0 [mm]\Rightarrow[/mm] f(0)= [mm]\bruch{0}{0} \Rightarrow[/mm] kein
> Schnittpunkt
Auch das ist klar, denn wie gesagt: x=0 ist gar nicht definiert.
>
> Monotonie:
> Da ich die Funktion nicht umgestellt bekomme habe ich auch
> hier leider keinen Ansatz.
>
> Und bei dem was ich habe bin ich mir auch nicht sicher.
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Dann habe ich beim limes also:
x>0
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2(-1+x^{2})x}{(-4+x^{2})x} [/mm] = 2
x<0
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} \bruch{2(-1+x^{2})x}{-(-4+x^{2})x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} \bruch{2(-1+x^{2})}{(4-x^{2})} [/mm] =
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} 2*\bruch{\bruch{-1}{x^{2}}+1}{\bruch{4}{x^{2}}-1} [/mm] = -2
Passt das so? ... Da fehlt aber bestimmt noch was zum limes oder?
Ansonsten fehlt mit dann ja nur noch die Monotonie, der Rest war ja richtig ...
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Muss ich bei den limes nicht noch irgendwas gegen meine Definitionslücke (2,-2.0) laufen lassen ? ... Oder nicht?
Und bei der Monotonie soll ich das nicht mit der Ableitung machen ( tut mir leid das nicht erwähnt zu haben ) sondern ich soll die Funktion mit Hilfe des Tipps aus der Aufgebenstellung umwandeln ( was ich nicht hinbekomme ) und dann nach dem Schema f(x)<f(y) auflösen ... ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Sa 03.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
füge im Zähler +4-4 zu
Gruß leduart
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Irgendwie bekomme ich das nicht hin, ich habe dann doch im Zähler [mm] 2(x^{2}-1+4-4)x [/mm] stehen, wie verfahre ich denn dann weiter, ich weis echt nicht wie ich das zusammenfassen soll?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 So 04.05.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Krümel!
Es gilt: [mm]f(x) \ = \ \bruch{2*\left(-1+x^{2}\right)*x}{\left(-4+x^{2}\right)*|x|} \ = \ 2*\bruch{x}{|x|}*\bruch{x^2-1}{x^2-4}[/mm]
Ich betrachte jetzt nur mal den letzten Bruchterm. Der Rest ist (in Abhängigkeit vom Vorzeichen von [mm]x_[/mm] ) ein konstanter Faktor.
[mm]\bruch{x^2-1}{x^2-4} \ = \ \bruch{x^2 \ \red{-4+4}-1}{x^2-4} \ = \ \bruch{x^2-4+3}{x^2-4} \ = \ \bruch{x^2-4}{x^2-4}+\bruch{3}{x^2-4} \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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