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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Kurvendiskussion

Kurvendiskussion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe

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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	10:31 So 23.08.2009
Autor:	Dinker

Guten Morgen

f(x) = [mm] e^{- \bruch{1}{2}x} [/mm] + x
- Asymptote
- Extrempunkte
- Rechnerisch aufzeigen, weshalb es keinen Nullpunkt gibt.

Asymptote:
- Eine Asymptote sehe ich hier wirklich nicht
Extremwerktpunkte

f'(x) = [mm] -\bruch{1}{2} e^{- \bruch{1}{2}x} [/mm] + 1
1 = [mm] \bruch{1}{2} e^{- \bruch{1}{2}x} [/mm]
2 =  [mm] e^{- \bruch{1}{2}x} [/mm]
ln 2 =  ln [mm] e^{- \bruch{1}{2}x} [/mm]
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] x = - ln 2
x = - 2*ln2
y =  [mm] e^{- \bruch{1}{2}- 2*ln2} [/mm] + (- 2*ln 2)
y = ln 2 *(-1)

T (- 2*ln2 / ln 2 *(-1))
Kann ich das so angeben?

Nun wie kann ich den Beweis liefern?
Rechnerisch kann ich es leider nicht, aber ich sehe ja, dass dies der einzige Tiefpunkt ist und der hat ja eine positive y Koordinate, deshalb kann der Graph schon gar nicht weiter nach unten gehen...

Danke
Gruss Dinker

Kurvendiskussion: Korrekturen

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	10:37 So 23.08.2009
Autor:	Loddar

Hallo Dinker!

> Asymptote:
>  - Eine Asymptote sehe ich hier wirklich nicht

Bedenke mal, gegen welchen Wert [mm] $e^{-\bruch{1}{2}*x}$ [/mm] für [mm] $x\rightarrow+\infty$ [/mm] strebt.

Mit welcher Geradengleichung kann man dann $f(x) \ = [mm] \$ [/mm] abschätzen?

> Extremwerktpunkte
>
> f'(x) = [mm]-\bruch{1}{2} e^{- \bruch{1}{2}x}[/mm] + 1
> 1 = [mm]\bruch{1}{2} e^{- \bruch{1}{2}x}[/mm]
> 2 =  [mm]e^{- \bruch{1}{2}x}[/mm]
> ln 2 =  ln [mm]e^{- \bruch{1}{2}x}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] x = - ln 2
> x = - 2*ln2

>  y =  [mm]e^{- \bruch{1}{2}- 2*ln2}[/mm] + (- 2*ln 2)
>  y = ln 2 *(-1)

Hier hast Du Dich verrechnet bzw. im Exponenten eine Klammer vergessen.

> T (- 2*ln2 / ln 2 *(-1))
>  Kann ich das so angeben?

Wenn es stimmen würde: ja.


> Nun wie kann ich den Beweis liefern?

Setze den x-Wert in die 2. Ableitung ein.

Gruß
Loddar

Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	10:53 So 23.08.2009
Autor:	Dinker

Hallo Loddar

Danke für die Antwort

y = 2a - 2*ln2
y = 2*(a - ln 2)

f''(x) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] e^{- \bruch{1}{2}x } [/mm]
0 = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] e^{- \bruch{1}{2}x } [/mm]

Das geht ja nicht....

Doch weshalb ist dies der Beweis, dass es keine Nullstellen gibt?

Danke
Gruss DInker

Kurvendiskussion: Extremwert

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	11:18 So 23.08.2009
Autor:	Loddar

Hallo Dinker!

> y = 2a - 2*ln2
> y = 2*(a - ln 2)

Wo "zauberst" Du hier plötzlich dieses $a_$ her?

Wie lautet denn nun die korrekte und vollständige Aufgabenstellung?
Das man dies bei Dir häufig erst "aus der Nase ziehen" muss ...

> f''(x) = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] * [mm]e^{- \bruch{1}{2}x }[/mm]

> 0 = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] * [mm]e^{- \bruch{1}{2}x }[/mm]

Du sollst nicht die 2. Ableitung gleich Null setzen, sondern den eben ermittelten x-Werthier einsetzen!

> Doch weshalb ist dies der Beweis, dass es keine Nullstellen gibt?

Ist es auch nicht. Dies ist erst einmal der Nachweis, dass es sich bei dem ermittelten x-Wert auch wirklich um einen Extremwert bzw. ein Minimum handelt.

Gruß
Loddar

Kurvendiskussion: Ergänzung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	11:34 So 23.08.2009
Autor:	Loddar

Hallo Dinker!

Wenn Du den Funktionswert des Tiefpunktes [mm] $f(x_T) [/mm] \ = \ ...$ berechnet hast und dieser positiv ist, musst Du dieses Ergebnis / diese Grenzwerte verwenden.

Gruß
Loddar

Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	10:56 So 23.08.2009
Autor:	Dinker

Hallo Loddar

Verhalten gegen unendlich

lim (f(x)) [mm] \to [/mm] + [mm] \infty [/mm]
x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty [/mm]

lim (f(x)) [mm] \to [/mm] + [mm] \infty [/mm]
x [mm] \to [/mm] + [mm] \infty [/mm]

Was heisst jetzt das für die Asymptote?

Danke
Gruss Dinker

Kurvendiskussion: anderer Vorschlag

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	11:13 So 23.08.2009
Autor:	Loddar

Hallo Dinker!

Was Du geschrieben hast, stimmt schon. Aber oben hatte ich Dir ja vorgeschlagen, dass Du lediglich [mm] $\limes_{x\rightarrow+\infty}e^{-\bruch{1}{2}*x}$ [/mm] betrachten sollst.

Gruß
Loddar

Kurvendiskussion: Aufgabe b

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	10:46 So 23.08.2009
Autor:	Dinker

Guten Morgen

f(x) = [mm] e^{- \bruch{1}{2}x} [/mm] + ax

Aufgabe: Extrempunkt so wählen, dass die Y Koordinate möglichst gross wird.

f'(x) = - [mm] \bruch{1}{2} e^{- \bruch{1}{2}x} [/mm] + a
2a = [mm] e^{- \bruch{1}{2}x} [/mm]
ln 2a = ln [mm] e^{- \bruch{1}{2}x} [/mm]
x = -2 * ln 2a
y = [mm] e^{- \bruch{1}{2}(-2 * ln 2a)} [/mm] + a*(-2 * ln 2a)
y = ln 2a - 2a* ln 2a
y = ln 2a * (1 - 2a)

T (-2 * ln 2a / ln 2a * (1 - 2a))

Nun Tiefpunkt, damit Y Koordinate möglichst gross wird...

Ableitung mit Produkteregel
u = ln 2a   u' = [mm] \bruch{1}{a} [/mm]
v = 1 - 2a  v' = -2

f'(x) = -2 ln 2a + [mm] \bruch{1}{a} [/mm] - 2
0 = -2 ln 2a + [mm] \bruch{1}{a} [/mm] - 2
0 = -2a * ln 2a + 1 - 2a
2a * (ln 2a + 1) = 1

2a = 1
a = 0.5

(ln 2a + 1)  = 0
geht nicht....

Koordinate dieses Tiefpunktes

a = 0.5

T (-2 * ln 1 / ln 1 * (1 - 1))

? Was mache ich falsch?

In welchem Bereich ist a definiert?

Spontan hätte ich gesagt?

ln 2a > 9

a > 0

Vielen Dank
Gruss DInker

Kurvendiskussion: Korrekturen (edit.)

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	11:26 So 23.08.2009
Autor:	Loddar

Hallo Dinker!

> f(x) = [mm]e^{- \bruch{1}{2}x}[/mm] + ax

Aha! Es scheint sich also um eine Funktionenschar [mm] $f_{\red{a}}(x) [/mm] \ = \ ...$ zu handeln.


> Aufgabe: Extrempunkt so wählen, dass die Y Koordinate
> möglichst gross wird.
>
> f'(x) = - [mm]\bruch{1}{2} e^{- \bruch{1}{2}x}[/mm] + a
> 2a = [mm]e^{- \bruch{1}{2}x}[/mm]
> ln 2a = ln [mm]e^{- \bruch{1}{2}x}[/mm]
> x = -2 * ln 2a
> y = [mm]e^{- \bruch{1}{2}(-2 * ln 2a)}[/mm] + a*(-2 * ln 2a)
> y = ln 2a - 2a* ln 2a
> y = ln 2a * (1 - 2a)

Das habe ich auch erhalten, was aber nicht automatisch bedeutet, dass es auch stimmen muss.

Siehe dazu hier!

> T (-2 * ln 2a / ln 2a * (1 - 2a))

Auch wenn die Eigenschaft als Tiefpunkt (z.B. mit dem hinreichenden Kriterium) nicht gezeigt wurde.


> Nun Tiefpunkt, damit Y Koordinate möglichst gross wird...
>
> Ableitung mit Produkteregel
> u = ln 2a   u' = [mm]\bruch{1}{a}[/mm]
> v = 1 - 2a  v' = -2

> f'(x) = -2 ln 2a + [mm]\bruch{1}{a}[/mm] - 2

Das ist nun mehr nicht die "alte" Funktion $f(x)_$ . Zumal es sich nun um eine andere Variable handelt.

Schreibe daher:
$$g'(a) \ = \ [mm] -2*\ln(2a)+\bruch{1}{a}-2$$ [/mm]

> 0 = -2 ln 2a + [mm]\bruch{1}{a}[/mm] - 2
> 0 = -2a * ln 2a + 1 - 2a
> 2a * (ln 2a + 1) = 1

> 2a = 1
> a = 0.5
>
> (ln 2a + 1)  = 0
> geht nicht....

Was machst Du hier? Die separate Untersuchung der Faktoren gilt nur für Gleichungen der Form $... \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] (= Nullprodukt).

Gruß
Loddar

Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	11:33 So 23.08.2009
Autor:	Dinker

> Hallo Dinker!
>
>
> > f(x) = [mm]e^{- \bruch{1}{2}x}[/mm] + ax
>
> Aha! Es scheint sich also um eine Funktionenschar
> [mm]f_{\red{a}}(x) \ = \ ...[/mm] zu handeln.
>
>
> > Aufgabe: Extrempunkt so wählen, dass die Y Koordinate
> > möglichst gross wird.
>  >
> > f'(x) = - [mm]\bruch{1}{2} e^{- \bruch{1}{2}x}[/mm] + a
>  > 2a = [mm]e^{- \bruch{1}{2}x}[/mm]

>  > ln 2a = ln [mm]e^{- \bruch{1}{2}x}[/mm]

>
> > x = -2 * ln 2a
>  > y = [mm]e^{- \bruch{1}{2}(-2 * ln 2a)}[/mm] + a*(-2 * ln 2a)

>  > y = ln 2a - 2a* ln 2a

>  > y = ln 2a * (1 - 2a)

>
>

Das habe ich auch erhalten.
>
>
> > T (-2 * ln 2a / ln 2a * (1 - 2a))
>
>

Auch wenn die eigenschaft als Tiefpunkt (z.B. mittels
> hinreichenden Kriteriums) nicht gezeigt wurde.
>
>
> > Nun Tiefpunkt, damit Y Koordinate möglichst gross wird...
>  >
> > Ableitung mit Produkteregel
>  > u = ln 2a   u' = [mm]\bruch{1}{a}[/mm]

>  > v = 1 - 2a  v' = -2

>
>

>
>
> > f'(x) = -2 ln 2a + [mm]\bruch{1}{a}[/mm] - 2
>
> Das ist nun mehr nicht die "alte" Funktion [mm]f(x)_[/mm] .
>
> Schreibe daher:
>  [mm]g'(a) \ = \ -2*\ln(2a)+\bruch{1}{a}-2[/mm]
>
>
> > 0 = -2 ln 2a + [mm]\bruch{1}{a}[/mm] - 2
>  > 0 = -2a * ln 2a + 1 - 2a

>  > 2a * (ln 2a + 1) = 1

>
>

>
>
> > 2a = 1
>  > a = 0.5

>  >
> > (ln 2a + 1)  = 0
> > geht nicht....
>
> Was machst Du hier? Die separate Untersuchung der Faktoren
> gilt nur für Gleichungen der Form [mm]... \ = \ \red{0}[/mm] (=
> Nullprodukt).

Sorry, was mache ich bloss....

2a * (ln 2a + 1) = 1

2a =z

z*(ln z + 1 -1 ) = 0

z * ln z = 0

z1 = 0
z2 = [mm] e^{0} [/mm] = 1

1 = 2a
a1 = 0.5

0 = 2a
a2 = 0
Dies geht nicht, da ausserhalb des Definitionsbereiches

Gruss Dinker

>
>
> Gruß
>  Loddar
>

Kurvendiskussion: nicht richtig

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	11:44 So 23.08.2009
Autor:	Loddar

Hallo Dinker!

> 2a * (ln 2a + 1) = 1
>
> 2a =z
>
> z*(ln z + 1 -1 ) = 0

Wie kommst Du auf diese Zeile? Du kannst die $1_$ doch nicht einfach mit in die Klammer schreiben.

Gruß
Loddar

Kurvendiskussion: Frage (reagiert)

Status:	(Frage) reagiert/warte auf Reaktion
Datum:	11:50 So 23.08.2009
Autor:	Dinker

Hallo

Was ich schon wieder gemacht habe...

Ist es denn sinnvoll 2a durch z zu ersetzen?

z*(ln z + 1) = 1

Ich kommte da einfach nicht mehr weiter

Kurvendiskussion: siehe unten!

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	11:53 So 23.08.2009
Autor:	Loddar

Hallo Dinker!

Siehe hier!

Gruß
Loddar

Kurvendiskussion: reingefallen

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	11:52 So 23.08.2009
Autor:	Loddar

Hallo Dinker!

Da habe ich doch glatt einen Fehler übersehen bzw. bin selber in dieselbe Falle getappt!

> y = [mm]e^{- \bruch{1}{2}(-2 * ln 2a)}[/mm] + a*(-2 * ln 2a)
> y = ln 2a - 2a* ln 2a

Es gilt:
[mm] $$e^{-\bruch{1}{2}*\left[-2*\ln(2a)\right]} [/mm] \ = \ [mm] e^{\ln(2a)} [/mm] \ = \ 2a$$

Damit gilt auch:
[mm] $$y_T [/mm] \ = \ [mm] 2a-2a*\ln(2a) [/mm] \ = \ [mm] 2a*\left[1-\ln(2a)\right]$$ [/mm]

Gruß
Loddar

Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	11:59 So 23.08.2009
Autor:	Dinker

f(x) = 2a * (1 - ln 2a)
f'(x) = a + 2(1 - ln a)
0 = a + 2(1 - ln a)

Und nun?

Danke
Gruss DInker

Kurvendiskussion: nicht richtig

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	12:02 So 23.08.2009
Autor:	Loddar

Hallo Dinker!

> f(x) = 2a * (1 - ln 2a)

Nochmal: das ist nicht $f(x)_$ !! (Willst Du auf diese Art in einer Prüfung Punkte wegschmeißen?)

> f'(x) = a + 2(1 - ln a)

Der erste Term muss gemäß

Produktregel lauten:
[mm] $$2a*\left(-\bruch{1}{a}\right) [/mm] \ = \ -2$$

Gruß
Loddar

Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	12:10 So 23.08.2009
Autor:	Dinker

Hallo

- 2*ln 2a
0 = 2* ln 2a

0 = ln 2a
[mm] e^{0} [/mm] = 2a
a = 0.5

Was ist falsch?

Danke
Gruss DInker

Kurvendiskussion: Darstellung

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	12:14 So 23.08.2009
Autor:	Loddar

Hallo Dinker!

> Was ist falsch?

An der Berechnung von $a_$ : nix!

Nur die Darstellung Deiner 1. Zeile: da steht einsam und verlassen ein armer Term, obwohl hier eine Funktion bzw. eine Funktionsvorschrift stehen müsste.

Gruß
Loddar

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