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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:14 So 10.11.2013 | | Autor: | Numl |
Hallo,
Meine Aufgabe lautet:
a) Schreiben Sie eine Funktion val = linSpline(z,x,y), die zu einem gegebenen Datensatz
{(xi, yi)T}i=0,...,N 2 R2 mit N 2 N und xi < xi+1 den eindeutigen linearen
Spline berechnet, in beliebigen Punkten z 2 [x0, xN] auswertet und das Resultat zurück
gibt.
b) Schreiben Sie eine Funktion val = cubSpline(z,x,y), die zu einem gegebenen Datensatz
{(xi, yi)T}i=0,...,N 2 R2 mit N 2 N und xi < xi+1 den eindeutigen natürlichen
kubischen Spline berechnet, in beliebigen Punkten z 2 [x0, xN] auswertet und das
Resultat zurück gibt.
https://ilias3.uni-stuttgart.de/goto.php?target=crs_528681&client_id=Uni_Stuttgart
c) Eine Kurve K im R2 ist das Bild einer stetigen, doppelpunktfreien Abbildung f :
[a, b] ! R2 wobei a, b 2 R sind. Dabei bedeutet doppelpunktfrei, dass f|(a,b] und
f|[a,b) injektiv sind. Die Abbildung f nennt man eine Parametrisierung von K.
Eine Methode zur Approximation von Kurven im R2 ist, zu einem Satz paarweise verschiedener
Punkte {(xi, yi)T}i=0,...,N 2 K auf der Kurve, die Splineinterpolationen sx
zum Datensatz {(i, xi)T}i=0,...,N und sy zum Datensatz {(i, yi)T}i=0,...,N zu bestimmen.
Dann liefert das Bild der approximativen Parametrisierung
s : [0,N] ! R2, t 7! (sx(t), sy(t))
eine Approximation der Kurve.
Wenden Sie die oben beschriebenen Methode an, um aus den durch die Matrizen L und
U gegebenen Punkten mittels linearer und kubischer Spline-Interpolation approximative
Parametrisierungen s zu erzeugen, werten Sie diese anschließend in den Punkten
ti = i
1000N, i = 0, . . . , 1000
aus und stellen Sie die Ergebnisse grafisch dar
.
DIES ist mein erarbeiteter Code:
function Spline()
% SPLINE Spline-Interpolation
% Definition der Punktmengen
L = [-1 -0.5 0 0.5 1 1 1 1 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 -1 -1 -1 ;
-1 -1 -1 -1 -1 -0.5 0 0.5 1 1 1 1 1 0.5 0 -0.5 -1]
U = [1 1 1 1 1 4 4 1 -2.5 -2.5 -2.5 -2.5 ...
-2.5 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -0.5 0 0.5 1;
2 2.375 2.75 3.125 3.5 6 10 11.5 10 9.5 9 8.5 ...
8 9.5 7 5.5 4 3.5 3 2.5 2 2 2 2 2]
N = length(U(1,:)) - 1
M = length(L(1,:)) - 1
i1 = 0:N;
i2 = 0:M;
x1 = U(1,:);
y1 = U(2,:);
x2 = L(1,:);
y2 = L(2,:);
t1 = ((0:1000)./1000)*N;
t2 = ((0:1000)./1000)*M;
figure
plot(t1,cubSpline(t1,i1,x1)); hold on;
plot(t1,cubSpline(t1,i1,y1));
figure
plot(t2,cubSpline(t2,i2,x2)); hold on;
plot(t2,cubSpline(t2,i2,y2));
figure
plot(t1,linSpline(t1,i1,x1)); hold on;
plot(t1,linSpline(t1,i1,y1));
figure
plot(t2,linSpline(t2,i2,x2)); hold on;
plot(t2,linSpline(t2,i2,y2));
end
function val = linSpline(z,x,y)
N = length(x)-1;
val = y(1)*(x(2)-z)./(x(2)-x(1)).*(x(1)<=z).*(z<x(2));
for j = 2:N
[mm] p_j [/mm] = (z-x(j-1))./(x(j)-x(j-1)).*(x(j-1)<=z).*(z<x(j)) + ...
(x(j+1)-z)./(x(j+1)-x(j)).*(x(j)<=z).*(z<x(j+1));
val = val + [mm] y(j)*p_j;
[/mm]
end
val = val + y(N+1)*(z-x(N))./(x(N+1)-x(N)).*(x(N)<=z).*(z<=x(N+1));
end
function val = cubSpline(z,x,y)
N = length(x) -1 ;
h = zeros(1,N);
for i = 1:N
h(i) = x(i+1) - x(i);
end
A = zeros(N-1,N-1);
for i = 1:N-1
A(i,i) = 2*(h(i)+h(i+1));
end
for i = 1:(N-2)
A(i,i+1) = h(i+1);
A(i+1,i) = h(i+1);
end
bb = zeros(1,N-1);
for i = 1:N-1
bb(i) = (6./h(i+1)*(y(i+2) - y(i+1)) - (6./h(i))*(y(i+1)-y(i)));
end
YY = inv(A)*bb';
a = zeros(1,N+1);
b = zeros(1,N+1);
c = zeros(1,N+1);
d = zeros (1,N+1);
a(1) = (1./(6*h(1))*(YY(1)));
c(1) = (1./h(1))*(y(2) - y(1)) - (h(1)./6)*YY(1);
d(1) = y(1);
for i = 2:N-1
a(i) = (1./(6*h(i)))*(YY(i) - YY(i-1));
b(i) = 0.5*YY(i-1);
c(i) = (1./h(i))*(y(i+1) - y(i)) - (h(i)./6)*(YY(i)+2*YY(i-1));
d(i) = y(i);
end
a(N) = -(1./(6*h(N)))*(YY(N-1));
b(N)=0.5*YY(N-1);
c(N)=(1./h(N))*(y(N+1) - y(N)) - (h(N)./6)*(2*YY(N-1));
d(N) = y(N);
val = 0;
for i = 1:N-1
[mm] s_i [/mm] = (a(i)*(z-x(i)).^3 + b(i)*(z-x(i)).^2 + c(i)*(z-x(i)) + d(i)).*(x(i)<=z).*(z<x(i+1));
val = val + [mm] s_i;
[/mm]
end
val = val + (a(N)*(z-x(N)).^3 + b(N)*(z-x(N)).^2 + c(N)*(z-x(N)) + d(N)).*(x(N)<=z).*(z<=x(N+1));
end
Die lineare und kubische Splineinterpolation funktionieren. Ich glaube jedoch, dass meine Kurven Approximation nicht ganz stimmt. Kann mir jemand weiter helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 14.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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