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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Do 03.09.2009 | | Autor: | Annsi |
| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen [mm] f_{k} [/mm] (x) = [mm] x^{4} [/mm] - [mm] kx^{3} [/mm] ,k [mm] \in \IR [/mm] .
Geben Sie die Wendepunkte an.
Welcher von allen Wendepunkten hat vom Punkt P (0|2) minimalen Abstand. |
Also die Wendepunkte schnell ausgerechnet:
2. Ableitung gleich Null setzen
x = [mm] \bruch{1}{3k} [/mm] und y = [mm] \bruch{2}{27k^{2}}
[/mm]
Nun rechne ich die Ortskurve der Wendepunkte aus
x nach k umstellen k = [mm] \bruch{1}{3x} [/mm] und setze den Wert für k in den y-Wert der Wendepunkte ein
y = [mm] \bruch{2}{27 \* \bruch{1}{3x} ^{2} }
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{3} x^{2}
[/mm]
Ortskurve: O(x) [mm] =\bruch{2}{3}x^{2}
[/mm]
Ich würde jetzt (für den 2. Aufgabenteil) einen Kreis um den Punkt P (0|2) legen und da, wo der Kreis die Innenseite der Ortskurve (Parabel) berührt, ist die Stelle des Wendepunktes mit dem minimalsten Abstand zu P.
Wie kann ich das nun errechnen?
Im Vorraus schonmal vielen Dank!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Do 03.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Annsi!
Wie lauten denn Deine ersten beiden Ableitungen? Denn ich habe bei den Wendepunktkandidaten andere Werte heraus mit:
[mm] $$x_1 [/mm] \ = \ 0 \ \ \ [mm] \text{und} [/mm] \ \ \ [mm] x_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{k}{2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Do 03.09.2009 | | Autor: | Annsi |
1. Ableitung f´(x)= [mm] 2x-3kx^{2}
[/mm]
2. Ableitung f´´(x)= x-6kx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Do 03.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Annsi!
Für die oben genannte Funktion mit [mm] $f_k(x) [/mm] \ = \ [mm] x^{\red{4}}-k*x^3$ [/mm] erhalte ich:
[mm] $$f_k'(x) [/mm] \ = \ [mm] \red{4}*x^{\red{3}}-3k*x^2$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Do 03.09.2009 | | Autor: | Annsi |
Oh mist! Vielen Dank! Ich habe eine falsche Aufgabe in meinen Unterlagen berechnet.
Wie du sagtest ist ein Wendepunkt bei x = [mm] \bruch{k}{2} [/mm] der y-Wert dazu wäre dann y= - [mm] \bruch{k^{4}}{16}
[/mm]
x stelle ich nach k um. Der k-Wert wäre dann k= 2x dann k in y einsetzten
y= - [mm] \bruch{(2x)^{4}}{16} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y= - [mm] \bruch{16x^{4}}{16} [/mm]
demnach wäre die Funktion von der Ortskurve O(x)= [mm] -x^{4}
[/mm]
Und dann muss der Wendepunkt einen minimalen Abstand zu P (0|-2) haben.
Weiter weiß ich trotzdem nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Do 03.09.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde direkt den Abstand A(k) der Wendepunkte [mm] W_{k}\left(-\bruch{k}{2};-\bruch{k^{4}}{16}\right) [/mm] zu P(0;2) bestimmen.
Es gilt ja mit dem Satz des Pytagoras:
[mm] A_{k}^{2}=\left(\underbrace{-\bruch{k}{2}+0}_{\text{Differenz der x-Werte}}\right)^{2}+\left(\underbrace{2-\bruch{k^{4}}{16}}_{\text{Differenz der y-Werte}}\right)^{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{k^{2}}{4}+4-\bruch{k^{4}}{4}+\bruch{k^{8}}{256}
[/mm]
Und von dieser Funktion suchst du jetzt das Minimum.
Marius
P.S.: Ich habe deine Werte für [mm] W_{k} [/mm] jetzt nicht kontrolliert.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:27 Do 03.09.2009 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
habe einen kleinen Fehler bei der Auswertung der binomischen Formel entdeckt. Es muss heißen
> [mm]\bruch{k^{2}}{4}+4-2\cdot 2\cdot\bruch{k^{4}}{16}+\bruch{k^{8}}{256} = \bruch{k^{2}}{4}+4-\bruch{k^{4}}{4}+\bruch{k^{8}}{256}[/mm]
Gruß,
zetamy
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 20:45 Do 03.09.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
>
> habe einen kleinen Fehler bei der Auswertung der
> binomischen Formel entdeckt. Es muss heißen
>
> > [mm]\bruch{k^{2}}{4}+4-2\cdot 2\cdot\bruch{k^{4}}{16}+\bruch{k^{8}}{256} = \bruch{k^{2}}{4}+4-\bruch{k^{4}}{4}+\bruch{k^{8}}{256}[/mm]
>
>
> Gruß,
> zetamy
Hallo Zetamy
Danke für den Hinweis, ich habs korrigiert.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Do 03.09.2009 | | Autor: | Annsi |
Vielen Dank für die Hilfe!!!
Annsi
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