Kurven in der Gaußschen Ebene < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 So 22.02.2009 | | Autor: | Mrumru |
| Aufgabe | Welche Kurven werden in der Gaußschen Ebene durch
[mm] Zeta(\bruch{z+1}{z-1})=c [/mm] bei konstantem [mm] c\in\IR [/mm] gegeben? |
Im Prinzip ist mir die Lösung klar: man muss die Kurven in der komlpexen Ebene durch eine Gleichung beschreiben. Also eine komplexe Zahl (Vektor) finden, die mit den Variablen die sie enthält die Kurve(n) darstellt.
Kann man mit ein paar Rechenoperationen zu so einer Zahl kommen? Wenn ja, wie? Oder muss man erst z.Bsp. für die Re- und Im-Komponente irgendwelche Gleichungen aufstellen?
Danke im Vorraus.
PS:
http://de.wikipedia.org/wiki/Zetafunktion
Die riemannsche ζ-Funktion (nach Bernhard Riemann) ist eine Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt. Ihre Bedeutung liegt darin, dass ihre Nullstellen im Komplexen Auskunft über Primzahlen, deren Verteilung und viele derer Eigenschaften geben. Zudem ist sie eine bedeutende Dirichlet-Reihe, die in vielen Disziplinen Anwendungen hat.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 So 22.02.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
man kann zu einer solchen Gleichung kommen.
Zerlege dir doch einfach die kompelxe Zahl z in $z=a+ib$. Jetzt kannst du versuchen, deine Gleichung in eine dir bekannte Form umzuformen, zB $b=b(a)$, also b als Funktion von a darzustellen oder in eine andere, dir bekannte Form umzustellen. Wenn du dann die Gleichung "siehst", und weist, was für ein Objekt deine Gleichung darstellt, kannst du diese ja einfach so zeichnen, als wäre das "b", also der Imaginärteil deiner kompelxen Zahl die y-Achse des [mm] $\IR^2$ [/mm] und das a die x-Achse.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 22.02.2009 | | Autor: | Mrumru |
Ich weiß nicht, ob man in jedem Fall a auf b bzw. andersrum abbilden kann. Bei diesem Fall weiß ich es ja nicht ^^. Aber wenn man z.Bsp. eine Spirale hat, oder eine Umdrehung um einen Anziehungspunkt, oder so könnte man ja nicht a auf b abbilden sondern nur t bzw x auf a und b und andersrum abbilden.
Ich habe jetzt mal eine etwas leichtere Aufgabe zum selben Thema (nur ohne die Zetafunktion) probiert:
Welche Kurven werden in der Gaußschen Ebene durch die Beziehung
[mm] \vmat{\bruch{z + 1}{z - 1}} [/mm] = c
bei konstantem c [mm] \in \IR, [/mm] c [mm] \ge [/mm] 0, gegeben?
Ich hatte schon
[mm] \wurzel{(Re(\bruch{z + 1}{z - 1}))^{2} + {(Im(\bruch{z + 1}{z - 1}))^{2}}} [/mm] = c
woraus ich schlussfolgerte
[mm] \wurzel{(\bruch{a + 1}{a - 1})^{2} + (\bruch{b}{b})^{2}} [/mm] = c
weil der Imaginäranteil ja konstant ist ist er durch sich selbst plus/minus Realanteil eben 1, da der Realanteil keinen Einfluss auf den Imaginäranteil hat. Also:
[mm] \wurzel{(\bruch{a + 1}{a - 1})^{2} + 1} [/mm] = c
Falls das bis hier richtig ist, weiß ich nicht genau, wie ich da weitermachen könnte.
Es wäre ja b unbekannt und unrelevant,
also hätte das Ergebnis z = (a + bi) mit a als Formel a(c).
Also syntaxmäßig sowas wie z = [mm] (10c^{2} [/mm] + bi) nur mit einer anderen Formel für Re(z) oder was?
Ist das der einigermaßen richtige Ansatz?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 So 22.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu deinem kleineren Problem:
|z+1|=c*|z-1|
daraus mit z=x+iy
[mm] (x+1)^2+y^2=c^2*((x-1)^2+y^2)
[/mm]
[mm] x^2(1-c^2)+2x*(1+c^2)+y^2(1-c^2)=c^2-1
[/mm]
und jetzt kannst du rauskriegen, was da je nach c ist.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 So 22.02.2009 | | Autor: | isi1 |
Stimmt denn z = (c+1)/(c-1) --> a=(c+1)/(c-1) und b=0, bei c=const. also ein Punkt auf der reellen Achse?
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> Welche Kurven werden in der Gaußschen Ebene durch
> [mm]Zeta(\bruch{z+1}{z-1})=c[/mm] bei konstantem [mm]c\in\IR[/mm] gegeben?
Könntest du bitte noch klar machen, was eigentlich
mit diesem Zeta gemeint sein soll ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 So 22.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Welche Kurven werden in der Gaußschen Ebene durch
> [mm]Zeta(\bruch{z+1}{z-1})=c[/mm] bei konstantem [mm]c\in\IR[/mm] gegeben?
Da kommt keine Kurve raus, sondern eine diskrete Punktmenge:
- Erstmal suchst du alle $w [mm] \in \IC$ [/mm] mit $Zeta(w) = c$. Da $Zeta$ meromorph ist ist das Urbild von $c$ eine diskrete Menge.
- Dann suchst du alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $\frac{z + 1}{z - 1} [/mm] = w$, fuer alle $w$ aus dem 1. Schritt. Allerdings ist dies eine Moebiusfunktion, und insbesondere bijektiv (wenn man den unendlichen Punkt mit dazunimmt). Das Urbild unter dieser Funktion von einer diskreten Menge ist ebenfalls wieder eine diskrete Menge.
Eine Kurve wirst du also nicht bekommen.
Oh, und im allgemeinen ist das Bestimmen der Urbilder sehr, sehr schwer, nimm etwa $c = 0$.
LG Felix
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