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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Kurven Integral - Polynom
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Kurven Integral - Polynom: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:14 Mi 05.02.2014
Autor: gpw

Aufgabe
Sei p ein Polynom vom Grad m [mm] \ge [/mm] 1 und R > 0. Zeige [mm] \integral_{|z| = R}^{}{\overline{p(z)}dz} [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i [mm] R^2\overline{p'(0)} [/mm]


Hallo zusammen,

mir fehlt bei obiger Aufgabe ein Ansatz bzw. eine Idee sie zu lösen.
Könnte mir jemand helfen?

Gruß gpw

        
Bezug
Kurven Integral - Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 Mi 05.02.2014
Autor: Richie1401

Hallo,

du kannst folgenden Ansatz wählen:

Parametrisiere die Kurve, also [mm] \gamma(t)=z_0+Re^{it}, t\in(0,2\pi). [/mm]
Wähle [mm] p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_0=\sum_{k=0}^na_kz^k. [/mm]

Nun werte das Integral

   [mm] \int_\gamma\overline{\sum_{k=0}^na_kz^k}dz [/mm]

aus.
Dies kannst du für jede Ordnung einzeln tun.

Bezug
                
Bezug
Kurven Integral - Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Mi 05.02.2014
Autor: gpw


> Hallo,
>  
> du kannst folgenden Ansatz wählen:
>  
> Parametrisiere die Kurve, also [mm]\gamma(t)=z_0+Re^{it}, t\in(0,2\pi).[/mm]
>  
> Wähle
> [mm]p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_0=\sum_{k=0}^na_kz^k.[/mm]
>  
> Nun werte das Integral
>  
> [mm]\int_\gamma\overline{\sum_{k=0}^na_kz^k}dz[/mm]
>  
> aus.
>  Dies kannst du für jede Ordnung einzeln tun.


Hi Richie,
danke für die schnelle Antwort.

Leider stehe ich immer noch auf dem Schlauch.

Wenn ich das Integral gliedweise aufschreibe bekomme ich:

[mm]\int_\gamma\overline{\sum_{k=0}^na_kz^k}dz = \integral_\gamma\overline{a_0} * 1 dz + \integral_\gamma\overline{a_1} * \overline{z} dz + \integral_\gamma\overline{a_2} * \overline{z}^2 dz + ... + \integral_\gamma\overline{a_m} * \overline{z}^m dz[/mm]

Wenn ich nun gliedweise das Integral berechne, hab ich sowas hier stehen:

[mm]\int_\gamma\overline{\sum_{k=0}^na_kz^k}dz = \integral_0^{2\pi} a_0 * Rie^{it} dt + \integral_0^{2\pi} a_1 * \overline{z_0 + Re^{it}} * Rie^{it} dt + ... [/mm]


Nur wie komm ich hier weiter?

Bezug
                        
Bezug
Kurven Integral - Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 Mi 05.02.2014
Autor: leduart

Hallo
1. [mm] z_0 [/mm] ist doch wohl hier 0
2. warun integrierst du nicht einfach?
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
Kurven Integral - Polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:58 Mi 05.02.2014
Autor: gpw

Ah, jetzt bin ich drauf gekommen. Vielen Dank!> Hallo
>  1. [mm]z_0[/mm] ist doch wohl hier 0
>  2. warun integrierst du nicht einfach?
>  Gruß leduart


Bezug
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