Kurvebdiskussion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Jack |
Hi Leute!
Ich habe mal wieder ein Problem in Mathe!!!
Ich hoffe Ihr könnt mir mal wieder helfen, so wie Ihr es schon oft gemacht habt, wofür ich auch sehr dankbar bin!!!
Dieses Mal geht es um eine Kurvendiskussion an einer Sinus-Kurve.
Die Funktion lautet:
[mm] f(x)=3*sin(2x-\pi)+1
[/mm]
Jetzt ist das Problem mit dem Bestimmen der Nullstellen. Ich weiß zumindest, dass zunächst die Periodizität angegeben werden muss, glaube ich. Zumindest leigt diese bei [mm] \pi. [/mm] Keine Ahung, ob das so wichtig hiefür ist. Desweiteren müsste für y=1 rauskommen, was ich auch an der Zeichung ablesen kann. Das Problem sind jetzt, wie schon gesagt, die Nullstellen. Die Bedingung heifür lautet ja f(x)=0. Das Problem heirbei ist jetzt das Auflösen der Gleichung. Ich bin zumindest schon einmal so weit gekommen:
[mm] 0=3*sin(2x-\pi)+1
[/mm]
[mm] -1/3=sin(2x-\pi)
[/mm]
Das genaue Problem leigt jetzt hierbei, wie ich den Sinus rüberbekomme auf die andere Seite bzw. wie man es weiter auslösen kann.
Ich bitte um Hilfe!!!!!
Vielen Danke schon mal!!!
Gruß Jack
|
|
| |
|
Hi, Jack,
> Dieses Mal geht es um eine Kurvendiskussion an einer
> Sinus-Kurve.
> Die Funktion lautet:
> [mm]f(x)=3*sin(2x-\pi)+1[/mm]
>
> Jetzt ist das Problem mit dem Bestimmen der Nullstellen.
> Desweiteren müsste für y=1 rauskommen, was ich auch an der
> Zeichung ablesen kann.
Du meinst den Schnitt mit der y-Achse?
Den berechnest Du, indem Du x=0 setzt:
[mm] 3*sin(-\pi) [/mm] + 1 = 3*0 + 1 = 1. (OK!)
> Das Problem sind jetzt, wie schon
> gesagt, die Nullstellen. Die Bedingung hierfür lautet ja
> f(x)=0. Das Problem hierbei ist jetzt das Auflösen der
> Gleichung. Ich bin zumindest schon einmal so weit
> gekommen:
>
> [mm]0=3*sin(2x-\pi)+1[/mm]
> [mm]-1/3=sin(2x-\pi)[/mm]
>
> Das genaue Problem leigt jetzt hierbei, wie ich den Sinus
> rüberbekomme auf die andere Seite bzw. wie man es weiter
> auslösen kann.
Du musst den sinus nicht "rüberbekommen", Du musst die Gleichung nur umdrehen:
[mm] sin(2x-\pi) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{3}
[/mm]
So: Und nun substituierst Du am besten:
z = [mm] (2x-\pi)
[/mm]
Dann kriegst Du:
sin(z) = [mm] -\bruch{1}{3}
[/mm]
Der Taschenrechner (Achtung! RAD-Einstellung!) liefert Dir zunächst die Lösung:
z [mm] \approx [/mm] - 0,3398
Nun kommt das, was Du immer tun solltest bei solchen Aufgaben:
Du skizzierst Dir die Sinuskurve zwischen sagen wir mal [mm] -\pi [/mm] und [mm] 2\pi.
[/mm]
Zusätzlich zeichnest Du eine waagrechte Linie ein, die etwa der Geraden [mm] y=-\bruch{1}{3} [/mm] entspricht.
Die Taschenrechnerlösung entspricht dann dem Schnittpunkt unmittelbar links von der y-Achse. Er liegt auf einem aufsteigenden Teil der Sinuslinie.
[mm] 2\pi [/mm] weiter liegt sozusagen "derselbe Punkt" nochmal, weitere [mm] 2\pi [/mm] weiter wieder, usw.
D.h. Wir haben bereits eine unendliche Anzahl von Nullstellen gefunden, die alle [mm] 2\pi [/mm] auseinanderliegen:
[mm] z_{1} [/mm] = -0,3398 [mm] +2k\pi [/mm] (wobei k [mm] \in \IZ). [/mm]
An der Skizze siehst Du aber noch was: Es gibt auch Lösungen, die auf den absteigenden Teilen der Sinuskurve liegen!
Ich rechne davon mal die erste aus, die rechts von der y-Achse liegt.
Schau genau hin und Du wirst bemerken:
Dieser Punkt liegt GENAU SO WEIT RECHTS VON [mm] \pi [/mm] wie die Taschenrechnerlösung links von der y-Achse.
Daher:
z = [mm] \pi [/mm] + 0,3398 [mm] \approx [/mm] 3,4814
Hier wiederholt sich nun das "Spielchen" von oben:
Jeweils im Abstand von [mm] 2\pi [/mm] finden wir Lösungen "derselben Art", also:
[mm] z_{2} [/mm] = 3,4814 + [mm] 2k\pi.
[/mm]
Nun müssen wir nur noch die Substitution z = 2x - [mm] \pi [/mm] rückgängig machen, d.h. nach x auflösen:
2x = z + [mm] \pi [/mm] <=> x = [mm] \bruch{z}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Hier brauchst Du nur noch (natürlich nacheinander) die beiden z-Werte von oben einzusetzen und Du hast die Lösungen für x.
|
|
|
|
