Kurve zeichnen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die [mm] C^{1}-Kurven:
[/mm]
[mm] \gamma:[0,2\pi]\to\IR^{2} \qquad \qquad \gamma(t)=(cos^{3}t, sin^{3}t)^{T} [/mm]
und
[mm] \rho:[0,2\pi]\to\IR^{3} \qquad \qquad \rho(t)=(cost, sint,\bruch{2}{3}t^{\bruch{3}{2}})^{T}
[/mm]
Skizzieren Sie [mm] \gamma [/mm] und [mm] \rho.
[/mm]
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Hallo,
muss ich jetzt einfach für t Werte einsetzen oder gibt es noch einen schöneren Weg, diese Augabe zu lösen?
Grüße Ned.
P.S.: Bitte nur antworten, wenn euch ein schönerer Weg einfällt. Wenn ihr der Meinung seid, es gibt keinen anderen Weg, dann bitte nur eine Mitteilung schreiben. Danke.
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Ob es dir etwas bringt, weiß ich nicht, aber bei (1) könnte man durch Verwendung des trigonometrischen Pythagoras eine parameterfreie Darstellung herstellen:
[mm]x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1[/mm]
wobei hier [mm]x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}[/mm] auch für [mm]x<0[/mm] definiert sei. Der Vergleich mit der Kreisgleichung läßt erkennen, daß die Kurve ein im weitesten Sinn "eingedellter Kreis" sein muß. Der Term links ist invariant gegenüber einer Vorzeichenänderung sowohl bei [mm]x[/mm] als auch bei [mm]y[/mm]. Das zeigt die Symmetrie der Kurve bezüglich der [mm]y[/mm]- wie auch der [mm]x[/mm]-Achse, was gleichzeitig die Punktsymmetrie zum Ursprung bewirkt. Darüberhinaus geht der Term bei Vertauschung von [mm]x,y[/mm] ebenfalls in sich über. Daher muß die Kurve auch symmetrisch zur Geraden [mm]y=x[/mm] liegen. Da hat man doch schon eine gute Vorstellung von der Sache. Jetzt sollte man natürlich ein paar Punkte berechnen, um die Kurve zeichnen zu können. Wegen der ganzen Symmetrien genügt es, Punkte im ersten Quadranten unterhalb der Geraden [mm]y=x[/mm] zu bestimmen. Stichwort: Astroide.
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Vielen Dank schon mal - Leopold. Die erste Kurve habe ich jetzt gezeichnet.
Bei der zweiten Kurve habe ich mir jetzt gedacht, dass die ersten beiden Komponenten alleine ja den Einheitskreis ergeben würden. Mit der dritten Komponente dazu müsste dann doch so eine Spirale um die dritte Achse entstehen oder? Reicht es, wenn ich die Schnittpunkte mit den Koordinaten-ebenen (also t=0, [mm] \bruch{\pi}{2}, \pi [/mm] , [mm] \bruch{3}{2}\pi, 2\pi) [/mm] ausrechne und diese Punkte dann durch eine"kreisförmige" Spirale verbinde?
Grüße Ned.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Do 04.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
Du koenntest auch das Programm Maple verwenden, um Dir die Kurven zeichnen zu lassen.
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Hallo Denny,
ich habe leider kein Maple und auch nirgendwo anders Zugriff auf Maple.
Außerdem möchte ich gerne lernen mir möglichst schnell solche Kurven vorstellen zu können, auch wenn ich gerade kein Computer zur Hand habe 
Danke aber trotzdem für deinen Beitrag.
Grüße Ned.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:08 Do 04.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was du Spirale nennst ist offiziell ne Schraubenlinie, damit hast du recht, wegen des 3/2 im Exp wird sie nach oben immer steiler.
Gruss leduart
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