Kurve über Fläche integrieren < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Mo 29.09.2008 | | Autor: | Zorba |
| Aufgabe | Integriere [mm] y^{4} [/mm] über den Einheitskreis.
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Wie macht man das? Ich bin ein wenig verwirrt, was die Verwendung der Transformationsformel und andere Methoden angeht. Wann nimmt man diese und wann integriert man auf anderem Weg(z.B. mit dem Flächenmaß)?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Mo 29.09.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Zorba,
es gibt sicherlich keine allgemeingültigen Regeln, wann welche Methode zum Ziel führt, aber in diesem Fall sieht es ganz nach einem Elfmeter aus, ... für die Transformation auf Polarkoordinaten, was natürlich am Integrationsgebiet Einheitskreis liegt. Dieses Gebiet wird nämlich durch diese Transformation zu einem Rechteck [mm] [0,1]x[0,2\pi], [/mm] was bedeutet, dass das Integrationsgebiet einfach wird; außerdem lassen sich die beiden Integrationen voneinander trennen ... aber ich will nicht zuviel verraten.
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Di 30.09.2008 | | Autor: | Zorba |
Also habe ich dann:
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2\pi}{r^{4}sin\phi^{4}r dr d\phi}
[/mm]
?
Damit ergibt sich
[mm] \integral_{0}^{1}{r^{5}dr}\integral_{0}^{2\pi}{sin\phi^{4} d\phi}
[/mm]
und das ist doch
[mm] 1/6\integral_{0}^{2\pi}{sin\phi^{4} d\phi}
[/mm]
Stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Di 30.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Di 30.09.2008 | | Autor: | Zorba |
hmm..hier häng ich jetzt. Wie löse ich dieses Integral am geschicktesten?
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Hallo Zorba!
Hier führt mehrfache partielle Integration zum Ziel.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Di 30.09.2008 | | Autor: | Zorba |
Also mit f= sin² und g'=sin² ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Di 30.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Also mit f= sin² und g'=sin² ?
Probier es aus. Ich denke günstiger wäre f = [mm] sin^3 [/mm] , g' = sin
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Di 30.09.2008 | | Autor: | Zorba |
Ich kriege es weder so noch so hin :-( Kann mir das einer vorrechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Di 30.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Mit der von mir vorgeschlagenen Wahl:
[mm] \integral_{}^{}{sin^4x dx} [/mm] = [mm] -cosxsin^{3}x +3\integral_{}^{}{sin^2x cos^2dx}.
[/mm]
Mit sinxcosx = (1/2)sin(2x) folgt:
[mm] \integral_{}^{}{sin^2x cos^2dx} =(1/4)\integral_{}^{}{sin^2(2x) dx} [/mm]
Jetzt Substtitution u = 2x und nochmal partiell integrieren
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Di 30.09.2008 | | Autor: | Zorba |
Vielen vielen Dank. So ist es natürlich möglich.
Was aber tut man, wenn man die Formel für sincos nicht auswendig weiß?
Gibt es eine Möglichkeit das auch anders zu berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Di 30.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Vielen vielen Dank. So ist es natürlich möglich.
> Was aber tut man, wenn man die Formel für sincos nicht
> auswendig weiß?
Das ist ein Spezialfall des Additionstheorems
sin(x+y) = sinxcosy +sinycosx
Additionstheoreme sollte man wissen.............................
FRED
> Gibt es eine Möglichkeit das auch anders zu berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Di 30.09.2008 | | Autor: | EasyLee |
Na klar gibt es die. Wurde auch im zweiten posting erwähnt. Du hast um diese Aufgabe zu lösen den wie ich finde besten weg gefunden indem du den Einheitskreis über die Polarform parametrisiert hast. Diese Rechung ist schön. Du kannst aber auch den Kreis über kartesiche Koordinaten parametrisieren. Diese Rechnung wird von der Integration her jedoch etwas länger, evtl schwieriger und aufwendiger sein. Es führen viele wege nach Rom. Probier es aus. hihi.
Diese Formeln für sin usw. sollte man kennen. es sind nicht viele sehr wichtig. Wenn es Dir trotzdem wiederstrebt sie zu lernen schau Dir die Bewiese der Additionstheoreme usw. an. Diese Formel resultieren daraus und Du kannst sie immer wieder herleiten.
bis denne
Fumaru
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