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Kurve / Torsion: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:51 Fr 16.12.2011
Autor: chesn

Aufgabe
Sei [mm] \alpha [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm] gegeben durch

$ [mm] \alpha(s)=(a*cos(\bruch{s}{c}), a*sin(\bruch{s}{c}), b*(\bruch{s}{c})), [/mm]  \ \  [mm] c^2=a^2+b^2. [/mm] $

(...)

4. Zeige, dass die Geraden durch [mm] \alpha(s) [/mm] in Richtung n(s) die z-Achse unter dem konstanten Winkel [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] schneiden.

Hallo!

Habe Probleme mit 4. Wie stelle ich eine Gleichung für die Geraden auf?
Komme ich mit etwas in der art weiter?:

g: [mm] x=\pmat{a*cos(\bruch{s}{c}) \\ a*sin(\bruch{s}{c}) \\ b(\bruch{s}{c}) }+\lambda*\pmat{ -\bruch{cos(\bruch{s}{c})}{c} \\ -\bruch{sin(\bruch{s}{c}}{c} \\ 0 } [/mm]

Und mit z-Achse ist doch sicher eine Ebene gemeint, also wäre ein Normalenvektor dieser z-Ebene [mm] n=\pmat{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] oder?

Jetzt dachte ich an die Formel für den Schnittwinkel: [mm] \beta=arcsin(\bruch{|u*n|}{|u|*|n|}) [/mm]
mit [mm] u=\pmat{ -\bruch{cos(\bruch{s}{c})}{c} \\ -\bruch{sin(\bruch{s}{c}}{c} \\ 0 } [/mm] und [mm] n=\pmat{1 \\ 1 \\ 0}. [/mm]

Damit komme ich aber nicht zu dem gewünschten Ergebnis.. müsste dann ja [mm] \beta=arcsin(1)=\bruch{\pi}{2} [/mm] sein.

Sorry wenn das völliger Blödsinn ist.. wäre für jeden Tipp äußerst dankbar.

Dankeschön schonmal!

        
Bezug
Kurve / Torsion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 Sa 17.12.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> Sei [mm]\alpha[/mm] : [mm]\IR \to \IR[/mm] gegeben durch
>  
> [mm]\alpha(s)=(a*cos(\bruch{s}{c}), a*sin(\bruch{s}{c}), b*(\bruch{s}{c})), \ \ c^2=a^2+b^2.[/mm]
>  
> (...)
>  
> 4. Zeige, dass die Geraden durch [mm]\alpha(s)[/mm] in Richtung n(s)
> die z-Achse unter dem konstanten Winkel [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> schneiden.
>  Hallo!
>  
> Habe Probleme mit 4. Wie stelle ich eine Gleichung für die
> Geraden auf?
> Komme ich mit etwas in der art weiter?:
>  
> g: [mm]x=\pmat{a*cos(\bruch{s}{c}) \\ a*sin(\bruch{s}{c}) \\ b(\bruch{s}{c}) }+\lambda*\pmat{ -\bruch{cos(\bruch{s}{c})}{c} \\ -\bruch{sin(\bruch{s}{c}}{c} \\ 0 }[/mm]

Ja.

> Und mit z-Achse ist doch sicher eine Ebene gemeint, also
> wäre ein Normalenvektor dieser z-Ebene [mm]n=\pmat{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> oder?

Nein, die z-Achse.  Zu musst zeigen, dass alle diese Geraden durch irgendeinen Punkt mit $x=y=0$ gehen. Und der Schnittwinkel ist natürlich der Winkel zwischen der z-Achse und $n(s)$, also [mm] $\arccos (n*e_z)$. [/mm]

  Viele Grüße
     Rainer

Bezug
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