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Kugeloberfläche Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Mi 14.01.2009
Autor: Slartibartfast

Hallo zusammen,

ich versuche mich grad an der Integration der Kugeloberfläche mittels Polarkoordinaten.

Ich hab meine Funktionaldeterminante aus folgender Kotrafo:

[mm] $x=R\sin{\theta}\cos{\phi}$ [/mm]
[mm] $y=R\sin{\theta}\sin{\phi}$ [/mm]

ergibt

[mm] $\integral_{?}^{?}~\integral_{?}^{?}~\begin{vmatrix} R\cos{\theta}\cos{\phi} & -R\sin{\theta}\sin{\phi} \\ R\cos{\theta}\sin{\phi} & R\sin{\theta}cos{\phi} \end{vmatrix}~d\theta d\phi= R^2 \integral_{?}^{?}~\integral_{?}^{?}~\sin{\theta}\cos{\theta}~d\theta d\phi= R^2 \bruch{1}{2}[\sin^2{\theta}]_?^?[\phi]_?^?$ [/mm]

Wie die ? schon andeuten: wie lauten meine Grenzen? Wiki sagt, dass [mm] $0\le\theta\le\pi;~0\le\phi\le2\pi$ [/mm] für die komplette Oberfläche. Das ergibt bei mir NULL [mm] ($\not= 4\pi R^2$). [/mm]
Möchte ich die halbe Oberfläche, dann wäre es doch [mm] $0\le\theta\le\bruch{\pi}{2};~0\le\phi\le2\pi$, [/mm] ergibt bei mir [mm] $R^2 \pi$ ($\not= 2\pi R^2$). [/mm]

Was mach ich falsch?


Grüße
Slartibartfast



        
Bezug
Kugeloberfläche Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Mi 14.01.2009
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Wenn das eine Kugel im [mm] \IR^3 [/mm] ist, mußt du doch
x=...
y=...
z=...

haben, und demnach auch ne 3x3-Matrix bekommen. Deren Determinante ist [mm] $r^2 \sin \theta \$ [/mm] . Versuchs mal damit!

Bezug
                
Bezug
Kugeloberfläche Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:39 Mi 14.01.2009
Autor: Slartibartfast

$z=R [mm] \cos{\theta}$ [/mm]

und die Fdet hab ich spaßhalber auch schon heut berechnet (mit der ich auch auf die Ergebnisse komme).
Ich war irgendwie davon überzeugt, dass ich bei einer Flächenintegration nur x und y brauch... macht natürlich keinen Sinn.



@Leopold_Gast: Sorry für die schwammige Formulierung.

Bezug
        
Bezug
Kugeloberfläche Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:27 Mi 14.01.2009
Autor: Leopold_Gast

Was willst du überhaupt berechnen? "Integration der Kugeloberfläche" ist ja eine höchst schwammige Formulierung.

Irgendwie scheint es mir, du willst den Inhalt der Kugeloberfläche [mm]F[/mm] berechnen? Stimmt das? Dazu benötigtest du eine Parameterdarstellung

[mm](u,v) \mapsto \varphi(u,v) \ \ \text{mit} \ \ (u,v) \in B[/mm]

der Kugel und müßtest

[mm]F = \int_B \left| \frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v} \right|~\mathrm{d}(u,v)[/mm]

auswerten. Da könntest du natürlich mit Kugelkoordinaten arbeiten. Das macht die Sache jedoch nicht unbedingt einfacher.

Bezug
                
Bezug
Kugeloberfläche Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:49 Do 15.01.2009
Autor: Event_Horizon

Oh doch, sie reduziert sich auf die Schwierigkeit, eine Stammfunktion für den Sinus zu finden ;-)

Die Determinante sollte man eh im Kopf haben.

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