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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Di 13.02.2007 | | Autor: | Sarah288 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Gleichungen der Kugeln, mit dem Radius 3, die die Kugel [mm] K:\vec{x}^2=36 [/mm] im Punkt B(-4|2|4) berühren.
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Hallo zusammen, ich habe ehrlich gesagt Probleme damit, die obige Aufgabe zu berechnen, da ich nicht weiß, wie ich den Mittelpunkt berechnen soll...
Vielleicht kann mir ja jemand helfen?
Vielen Dank und liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Di 13.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Sarah
> Bestimmen Sie die Gleichungen der Kugeln, mit dem Radius 3,
> die die Kugel [mm]K:\vec{x}^2=36[/mm] im Punkt B(-4|2|4) berühren.
>
> Hallo zusammen, ich habe ehrlich gesagt Probleme damit, die
> obige Aufgabe zu berechnen, da ich nicht weiß, wie ich den
> Mittelpunkt berechnen soll...
>
Genau die Koordinaten des Mittelpunktes M musst du jetzt ja noch berechnen.
Es gilt für die Gesuchten Kugeln:
[mm] (\vec{x}-\vec{m})²=r²
[/mm]
[mm] (x-x_{m})²+(y-y_{m})²+(z-z_{m})²=3²
[/mm]
Jetzt weisst du, dass der gegebene Punkt B auf den Kugeln liegt.
[mm] \green{(-4-x_{m})²+(2-y_{m})²+(4-z_{m})²=3²}
[/mm]
Und, da der Punkt ein Berührpunkt beider Kugeln ist, gilt:
[mm] |\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OM}|+3
[/mm]
[mm] \gdw6=\wurzel{x_{m}²+y_{m}²+z_{m}²}+3
[/mm]
[mm] \gdw3=\wurzel{x_{m}²+y_{m}²+z_{m}²}
[/mm]
[mm] \gdw\green{9=x_{m}²+y_{m}²+z_{m}²}
[/mm]
Aus demselben Grund gilt:
Wenn ich die Kugel
[mm] \vec{x}*\vec{x}=36
[/mm]
[mm] \gdw\red{x²+y²+z²=36}
[/mm]
[mm] \red{(x-x_{m})²+(y-y_{m})²+(z-z_{m})²=3²}
[/mm]
Ziehe ich die beiden Rot markierten Gleichungen voneinander ab, ergibt sich:
[mm] -2x*x_{m}+x_{m}²-2y*y_{m}+y_{m}²-2z*z_{m}+z_{m}²=27
[/mm]
Da der Punkt B wieder Berührpunkt ist, gilt:
[mm] -2(-4)*x_{m}+x_{m}²-2*(2)*y_{m}+y_{m}²-2*(4)*z_{m}+z_{m}²=27
[/mm]
[mm] \gdw\green{8x_{m}+x_{m}²-4*y_{m}+y_{m}²-8*z_{m}+z_{m}²=27}
[/mm]
Jetzt hast du drei grün markierte Gleichungen, für die drei Variablen [mm] x_{m}, y_{m} [/mm] und [mm] z_{m}, [/mm] also den Koordinaten des Mittelpunktes.
Und damit hast du dann deine Kugelgleichung.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 Di 13.02.2007 | | Autor: | Sarah288 |
Hallo Marius,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Ich werde mir alles in Ruhe mal durchlesen und ausprobieren...
Vielen Dank und liebe Grüße
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