Kugelkoordinaten Einheitsvekto < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:42 So 13.02.2011 | | Autor: | Kueken |
Hallo!
Sorry, ich wusste nich in welche Kategorie meine Frage gehört :).
Also, ich wüsste gerne wie ich die kartesischen Einheitsvektoren z.B. in Kugelkoordinaten oder Zylinderkoordinaten umrechne. Und dann halt auch andersrum :)
Wär super, wenn mir da jemand weiterhelfen kann.
Dankeschön und viele Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:55 So 13.02.2011 | | Autor: | skoopa |
Tach!
> Hallo!
>
> Sorry, ich wusste nich in welche Kategorie meine Frage
> gehört :).
> Also, ich wüsste gerne wie ich die kartesischen
> Einheitsvektoren z.B. in Kugelkoordinaten oder
> Zylinderkoordinaten umrechne. Und dann halt auch andersrum
> :)
> Wär super, wenn mir da jemand weiterhelfen kann.
>
> Dankeschön und viele Grüße
> Kerstin
Also um in Kugelkoordinaten zu transformieren machst du:
[mm] (x,y,z)\mapsto(r*sin(\theta)*cos(\phi),r*sin(\theta)*sin(\phi),r*cos(\theta))
[/mm]
Wobei r der Radius ist, also [mm] r=\wurzel{x^2+y^2+z^2}.
[/mm]
[mm] \phi\in [0,\pi] [/mm] ist der Winkel zwischen der z-Achse und dem Radialvektor.
[mm] \theta\in [0,2\pi] [/mm] ist der Azemutalwinkel(oder so), also der Winkel zwischen der x-Achse und der Projektion des Radialvektors in die x-y-Ebene.
Weitere Informationen auch zu Polar- und Zylinderkoordinaten findest du auch beim guten, alten Freund Wikipedia.
Grüße!
skoopa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:58 So 13.02.2011 | | Autor: | Kueken |
Hi!
Danke für die schnelle antwort!
Also muss ich einfach nur für r eins einsetzen und für den Azimut 1/2 [mm] \pi [/mm] und [mm] \phi [/mm] 0 und ich bekomm die darstellung vom einheitsvektor in x Richtung. Stimmt das so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:03 So 13.02.2011 | | Autor: | Kueken |
ähm, ich glaub deine winkel waren vertauscht, kann das sein? (also vom namen her...)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:06 So 13.02.2011 | | Autor: | Kueken |
nee, geht nich so... hmm, anscheinend hab ichs doch nich gecheckt... :(
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> ähm, ich glaub deine winkel waren vertauscht, kann das
> sein? (also vom namen her...)
Ja. In den Gleichungen
[mm] $x=r\cdot{}sin(\theta)\cdot{}cos(\phi)$
[/mm]
[mm] $y=r\cdot{}sin(\theta)\cdot{}sin(\phi)$
[/mm]
[mm] $z=r\cdot{}cos(\theta)) [/mm] $
für Kugelkoordinaten
ist [mm] \phi [/mm] der "Azimutwinkel" (in der x-y-Ebene
in der üblichen Weise von der positiven x-Achse
aus gemessen) und [mm] \theta [/mm] der Winkel zwischen
dem Vektor und der positiven z-Achse.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 So 13.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja es stimmt. der Äquator liegt in der x-y Ebene man beginnt bei y=0 mit [mm] \phi=0 [/mm] das ergibt die Längenkreise. bei x=y=0 z=r (=1) ist der Nordpol. anders als in der Geographie (wo er bei 90° bzw [mm] \pi/2 [/mm] liegt liegt er in mathe bei [mm] \theta=0, [/mm] der Aquator also bei [mm] \theta=\pi\2. [/mm] Südpol bei [mm] \pi
[/mm]
wenn du dirs so vorstellst kanst du leicht die 2 anderen Einheitsvektoren finden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:24 So 13.02.2011 | | Autor: | Kueken |
Ja, aber wenn ich das doch einsetze, bekomme ich ja wieder 1,0,0 raus...
Mein Problem ist folgendes. Ich hab hier ein Vektorfeld, dass ich in Kugel- und in Zylinderkoordinaten umrechnen soll. x und y einsetzen ist ja an sich kein Problem. Aber da sind jalt auch die kartesischen Einheitsvektoren dabei.
Ich hab hier auf nem Merkblatt stehen, dass ich die kartesischen Einheitsvektoren in zylinderkoordinaten so ausdrücken kann:
[mm] \vec{e_{x}}= [/mm] cos [mm] \phi \vec{e_{\rho}}-sin \phi \vec{e_{\phi}}
[/mm]
Als Beispiel jetzt... Nun versuche ich dasselbe in Kugelkoordinaten zu machen, aber ich weiß nicht wie ich das berechne. (Hoffe ich hab jetzt nicht an dir vorbeigeredet :) )
Lg
Kerstin
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> Mein Problem ist folgendes. Ich hab hier ein Vektorfeld,
> dass ich in Kugel- und in Zylinderkoordinaten umrechnen
> soll. x und y einsetzen ist ja an sich kein Problem. Aber
> da sind halt auch die kartesischen Einheitsvektoren dabei.
> Ich hab hier auf nem Merkblatt stehen, dass ich die
> kartesischen Einheitsvektoren in zylinderkoordinaten so
> ausdrücken kann:
> [mm]\vec{e_{x}}=[/mm] cos [mm]\phi \vec{e_{\rho}}-sin \phi \vec{e_{\phi}}[/mm]
>
> Als Beispiel jetzt... Nun versuche ich dasselbe in
> Kugelkoordinaten zu machen, aber ich weiß nicht wie ich
> das berechne.
Hallo Kerstin,
was du suchst, wird da erklärt:
![[]](/images/popup.gif) Kugelkoordinaten: Transformation der Vektorraumbasis
Für [mm] \vec{e}_{x} [/mm] erhält man dabei die Gleichung:
[mm]\vec{e}_{x}\ =\ sin\, \theta\ cos\, \phi\ \,\vec{e}_{\rho}\ +\ cos\, \theta\ cos\, \phi\ \,\vec{e}_{\theta}\ -\ sin\, \phi\ \,\vec{e}_{\phi}[/mm]
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 So 13.02.2011 | | Autor: | Kueken |
Danke für deine Antwort.
Das sieht ja schonmal gut aus, aber ich hab nicht verstanden wie es funktioniert:(
Ich muss wohl irgenwas nach irgendwem ableiten...
LG
Kerstin
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> Danke für deine Antwort.
>
> Das sieht ja schonmal gut aus, aber ich hab nicht
> verstanden wie es funktioniert:(
> Ich muss wohl irgenwas nach irgendwem ableiten...
>
> LG
> Kerstin
Ja, wenn du dich nicht auf die in dem Wiki-Artikel
angegebene Rotationsmatrix S stützen willst,
kannst du es selber so machen:
Der Einheitsvektor [mm] \vec{e}_x [/mm] muss in die Richtung von [mm] P_x [/mm]
zeigen. Dabei wird der Ortsvektor P in Kugelkoor-
dinaten dargestellt:
Dann gilt
[mm] $\mathbf{e}_x \sim \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial x}\ [/mm] =\ [mm] \frac{\partial \rho}{\partial x}\ \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \rho} +\frac{\partial \theta}{\partial x}\ \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \theta} +\frac{\partial \varphi}{\partial x}\ \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \phi} [/mm] $
(ich habe nun aber festgestellt, dass dies zumindest sehr
umständlich wird - deshalb ist wohl der Weg über die
Rotationsmatrix doch wesentlich angenehmer ...)
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:34 So 13.02.2011 | | Autor: | Kueken |
Danke dir, ok, ich glaub wo mein denkfehler beim ableiten liegt... ich muss einen punkt erstmal in kugelkoordinaten darstellen... das hab ich irgendwie nicht gemacht =)
Da wir noch nicht die Rotationsmatrix hatte, muss ich dann wohl den umständlichen Weg wählen...
Auf ein neues =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 So 13.02.2011 | | Autor: | Kueken |
Ich hab nun als erstes mal versucht den Einheitsvektor in x-Richtung in Zylinderkoordinaten umzurechnen, damit ich einen Vergleich habe und weiß obs stimmt, aber es stimmt nich... heul. Sieht aber an sich schon ganz gut aus. Vielleicht hat jemand ne Idee, was da falsch gelaufen sein könnte.
cos [mm] \phi \vec{e_{\rho}}- \bruch{sin \phi}{\rho} \vec{e_{\phi}} [/mm]
Eigentlich ist ja nur das [mm] \rho [/mm] zuviel. Ich habe den Ortsvektor nach [mm] \rho [/mm] abgeleitet multipliziert mit der Ableitung von [mm] \rho [/mm] nach x. Dann für x und y wieder die Zylinderdarstellung eingesetzt. Dasselbe nach [mm] \phi [/mm] gemacht, aber da will das [mm] \rho [/mm] nicht verschwinden. Vielleicht liegt das an meiner inneren Ableitung vom arc tan [mm] \bruch{y}{x}. [/mm] Die innere wäre bei mir - [mm] \bruch{y}{x^{2}} [/mm] ...
vielleicht schreib ich das nochmal sauber auf. Also die Ableitung vom arc tan [mm] (\bruch{y}{x}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+\bruch{y^{2}}{x^{2}}} [/mm] * (- [mm] \bruch{y}{x^{2}})= [/mm] - [mm] \bruch{y}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 So 13.02.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kerstin!
> Ich hab nun als erstes mal versucht den Einheitsvektor in
> x-Richtung in Zylinderkoordinaten umzurechnen, damit ich
> einen Vergleich habe und weiß obs stimmt, aber es stimmt
> nich... heul. Sieht aber an sich schon ganz gut aus.
> Vielleicht hat jemand ne Idee, was da falsch gelaufen sein
> könnte.
> [mm]cos \phi \vec{e_{\rho}}- \bruch{sin \phi}{\rho} \vec{e_{\phi}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Als Formel stimmt nicht; tatsächlich ist $\bruch{\partial P\{\partial \phi} = \rho*\vec{e}_\phi$ und damit kommst du auf das (richtige) Ergebnis
[mm] $\vec{e}_x = cos \phi \vec{e_{\rho}}- sin \phi \vec{e_{\phi}}[/mm] .
Das Problem liegt darn, dass die partiellen Ableitungen von P zwar ein System von orthogonalen Vektoren ergeben, aber nicht die Einheitsvektoren.
Es ist daher einfacher, umgekehrt zu rechnen: die gesuchten Einheitsvektoren als Linearkombination der bekannten Einheitsvektoren [mm] $\vec{e}_x$, $\vec{e}_y$, $\vec{e}_z$ [/mm] auszudrücken und zurückzurechnen.
Ich führe dir die Rechnung für Zylinderkoordinaten vor. Da die Koordinate z dieselbe ist wie in kartesischen Koordinaten, kann man sich auf x und y beschränken und die z-Koordinate weglassen
Also: um den Einheitsvektor [mm] $\vec{e}_\rho$ [/mm] zu berechnen, bestimmen wir die Ableitung des Ortsvektors nach [mm] $\rho$. [/mm] Wenn das Ergebnis kein Einheitsvektor ist, müssen wir noch durch die Länge teilen:
[mm] \bruch{\partial \vec{r}}{\partial \rho} = \bruch{\partial \vec{r}}{\partial x} * \bruch{\partial x}{\partial \rho} + \bruch{\partial \vec{r}}{\partial y} * \bruch{\partial y}{\partial \rho} [/mm] .
Einsetzen der Zylinderkoordinaten ergibt
[mm] \bruch{\partial x}{\partial \rho} = \cos\phi [/mm], [mm] \bruch{\partial x}{\partial \rho} = \sin\phi [/mm] .
Außerdem ist
[mm] \bruch{\partial \vec{r}}{\partial x} = \bruch{\partial}{\partial x} \vektor{x\\y\\z} = \vektor{1\\0\\0}= \vec{e}_x [/mm]
und ebenso
[mm] \bruch{\partial \vec{r}}{\partial y} = \vec{e}_y [/mm].
Insgesamt:
[mm] \bruch{\partial \vec{r}}{\partial \rho} = \cos\phi \vec{e}_x + \sin\phi \vec{e}_y [/mm] .
Dieser Vektor ist schon ein Einheitsvektor, also auch
[mm] \vec{e}_\rho=\cos\phi \vec{e}_x + \sin\phi \vec{e}_y [/mm] .
Analog ergibt sich
[mm] \bruch{\partial \vec{r}}{\partial \phi} = - \rho \sin\phi \vec{e}_x + \rho\cos\phi \vec{e}_y [/mm] .
Die Länge dieses Vektors ist [mm] $\rho$, [/mm] damit ergibt sich der Einheitsvektor
[mm] \vec{e}_\phi=-\sin\phi \vec{e}_x + \cos\phi \vec{e}_y [/mm] .
Durch Multiplikation mit [mm] $\sin\phi$ [/mm] bzw. [mm] $\cos\phi$ [/mm] und Addition bzw. Subtraktion bekommst du
[mm] \vec{e}_x = \cos \phi \vec{e}_{\rho}- \sin \phi \vec{e}_{\phi}[/mm]
und
[mm] \vec{e}_x = \sin \phi \vec{e}_{\rho}+ \cos \phi \vec{e}_{\phi}[/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 So 13.02.2011 | | Autor: | Kueken |
Danke euch beiden... nu hab ichs raus =)
Ich hab aber tatsächlich die Richtung verschludert und gedacht bei der Formel kommt der Einheitsvektor raus. Das Proportionalitätszeichen wurde von meinem Hirn ignoriert *g*
toll, jetzt rechne ich mal schnell die anderen Einheitsvektoren aus in sämtlichen Koordinaten =)
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:14 So 13.02.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Dann gilt
>
> [mm]\mathbf{e}_x \sim \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial x}\ =\ \frac{\partial \rho}{\partial x}\ \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \rho} +\frac{\partial \theta}{\partial x}\ \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \theta} +\frac{\partial \varphi}{\partial x}\ \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \phi}[/mm]
>
> [mm]\ =\ \frac{\partial \rho}{\partial x}\ \mathbf{e}_{\rho} +\frac{\partial \theta}{\partial x}\ \mathbf{e}_{\theta} +\frac{\partial \varphi}{\partial x}\ \mathbf{e}_{\phi}[/mm]
Das stimmt so nicht, denn die Ableitungen von P müssen keine Einheitsvektoren sein. Es ist also z.B. [mm] $\frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \phi} [/mm] $ proportional zu [mm] $\mathbf{e}_{\phi}$, [/mm] aber tatsächlich ist
[mm] \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \phi} = \rho \mathbf{e}_{\phi}[/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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> > Dann gilt
> >
> > [mm]\mathbf{e}_x \sim \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial x}\ =\ \frac{\partial \rho}{\partial x}\ \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \rho} +\frac{\partial \theta}{\partial x}\ \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \theta} +\frac{\partial \varphi}{\partial x}\ \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \phi}[/mm]
>
> >
> > [mm]\ =\ \frac{\partial \rho}{\partial x}\ \mathbf{e}_{\rho} +\frac{\partial \theta}{\partial x}\ \mathbf{e}_{\theta} +\frac{\partial \varphi}{\partial x}\ \mathbf{e}_{\phi}[/mm]
>
> Das stimmt so nicht, denn die Ableitungen von P müssen
> keine Einheitsvektoren sein.
Das habe ich gar nicht behauptet !
Ich habe doch geschrieben:
“Der Einheitsvektor [mm] \vec{e}_x [/mm] muss in die Richtung von [mm] P_x [/mm]
zeigen.“
Dass [mm] \vec{e}_x [/mm] nicht identisch zu [mm] P_x [/mm] sein muss, sondern nur
proportional dazu, wird auch im Symbol [mm] "\sim" [/mm] ausgedrückt !
> Es ist also z.B.
> [mm]\frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \phi}[/mm] proportional zu
> [mm]\mathbf{e}_{\phi}[/mm], aber tatsächlich ist
>
> [mm]\frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \phi} = \rho \mathbf{e}_{\phi}[/mm]
Al-Chw.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 14:35 So 13.02.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > > Dann gilt
> > >
> > > [mm]\mathbf{e}_x \sim \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial x}\ =\ \frac{\partial \rho}{\partial x}\ \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \rho} +\frac{\partial \theta}{\partial x}\ \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \theta} +\frac{\partial \varphi}{\partial x}\ \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \phi}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\ =\ \frac{\partial \rho}{\partial x}\ \mathbf{e}_{\rho} +\frac{\partial \theta}{\partial x}\ \mathbf{e}_{\theta} +\frac{\partial \varphi}{\partial x}\ \mathbf{e}_{\phi}[/mm]
>
> >
> > Das stimmt so nicht, denn die Ableitungen von P müssen
> > keine Einheitsvektoren sein.
>
> Das habe ich gar nicht behauptet !
> Ich habe doch geschrieben:
> “Der Einheitsvektor [mm]\vec{e}_x[/mm] muss in die Richtung von
> [mm]P_x[/mm]
> zeigen.“
>
> Dass [mm]\vec{e}_x[/mm] nicht identisch zu [mm]P_x[/mm] sein muss, sondern
> nur
> proportional dazu, wird auch im Symbol [mm]"\sim"[/mm]
> ausgedrückt !
Das war nicht mein Punkt. Du hast in der nächsten Zeile [mm] $P_\phi$ [/mm] mit [mm] $\mathbf{e}_{\phi}$ [/mm] identifiziert, und das war es auch, was Kerstin verwirrt hat.
Viele Grüße
Rainer
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