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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Kugelgleichung, Ebene
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Kugelgleichung, Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:18 Sa 01.04.2006
Autor: wonderwall

Aufgabe
Ermittle die Allg. Gleichung jener Kugel, deren Mittelpunkt M ist u die die Ebene [mm] \varepsilon [/mm]  berührt.
M(5/-6/1), [mm] \varepsilon [/mm] : -x+4y+2z=15

Muss ich hier mit Vektoren rechnen? Muss ich da den Ebenenvektor aufstellen oder doch nur schneiden? Es ist sicher leicht, aber irgendwie steh ich bei der Kugel total neben mir :-(

Danke

lg ww
        
Bezug
Kugelgleichung, Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:53 Sa 01.04.2006
Autor: Disap

Hallo Wonderwall.

Ein allgemeines Vorgehen beschreibe ich dir jetzt einmal.

> Ermittle die Allg. Gleichung jener Kugel, deren Mittelpunkt
> M ist u die die Ebene [mm]\varepsilon[/mm]  berührt.
>  M(5/-6/1), [mm]\varepsilon[/mm] : -x+4y+2z=15

>  Muss ich hier mit Vektoren rechnen? Muss ich da den

Das ist meistens so in der linearen Algebra bzw. Vektorrechnung [grins]

> Ebenenvektor aufstellen oder doch nur schneiden? Es ist
> sicher leicht, aber irgendwie steh ich bei der Kugel total
> neben mir :-(

M(5/-6/1), E : -x+4y+2z=15

Wir haben eine Tangentialebene, die die Kugel berührt. Was wissen wir über den "Ort", an dem die Ebene die Kugel tangiert? Der Abstand zwischen dem Mittelpunkt und der Ebene ist der Radius! Ansonsten würde die Ebene schneiden oder eben dranvorbeigehen.

Unsere Ebene

E : -x+4y+2z-15=0

befindet sich in der Koordinateform. Um den Abstand Ebene-Punkt zu berechnen, nimmst du die Hessesche Normalenform.

|d|=...

Wir bekommen nun ein d heraus, FIKTIV(!) sei dies mal 3.

d ist unser Radius, d. h. der Abstand zwischen Mittelpunkt und Ebene beträgt 3.

Und damit ist die Aufgabe schon gelöst.

Rechnungen darfst du uns gerne zeigen.
>  
> Danke
>  
> lg ww

mfG!
Disap
Bezug
                
Bezug
Kugelgleichung, Ebene: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:11 Sa 01.04.2006
Autor: wonderwall

Danke, ich hab zuerst auch gleich an die HNF gedacht u hab das auch so gerechnet, aber das Lösungsheft hat einen ganz anderen radius *schnief*

leider hab ich das lösungsheft übers WE hergeborgt....dh ich weiß nun gar nicht, wie die richtige Lösung ist, aber ich rechne die HNF nochmals, vielleicht hab ich ja einen rechenfehler

lg ww
Bezug
                        
Bezug
Kugelgleichung, Ebene: Rechnung?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:14 Sa 01.04.2006
Autor: Disap

Hi.

> Danke, ich hab zuerst auch gleich an die HNF gedacht u hab
> das auch so gerechnet, aber das Lösungsheft hat einen ganz
> anderen radius *schnief*
>  
> leider hab ich das lösungsheft übers WE hergeborgt....dh
> ich weiß nun gar nicht, wie die richtige Lösung ist, aber
> ich rechne die HNF nochmals, vielleicht hab ich ja einen
> rechenfehler

Es würde helfen, wenn du die Rechnung dann zeigen würdest, dann würden wir sie angucken und nötigenfalls korrigieren; aber ich persönlich werde es jetzt nicht vorrechnen, da fehlt mir die Zeit/Lust für.

mfG!
Disap
Bezug
                
Bezug
Kugelgleichung, Ebene: Richitig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:33 Sa 01.04.2006
Autor: wonderwall

Hi

keine sorge, ich hab nicht von euch erwartet, dass ihr mir das vorrechnet *gg*

also ich hätt als Basis für die HNF=  [mm] \bruch{-5-24+2-15}{\wurzel{1+16+4}}=....= \bruch{42}{\wurzel{21}} [/mm]

d²=84....

dann ist die gleichung: (x-5)²+(y+6)²+(z-1)²)=84
x²-10x+25+y²+12y+36+z²-2z+1=84
x²+y²+z²-10x+12y-2z=60

passt das?
Bezug
                        
Bezug
Kugelgleichung, Ebene: Nicht ganz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:51 Sa 01.04.2006
Autor: Disap


> Hi

Hallo.
> keine sorge, ich hab nicht von euch erwartet, dass ihr mir
> das vorrechnet *gg*

Fein. :-)
> also ich hätt als Basis für die HNF=  
> [mm]\bruch{-5-24+2-15}{\wurzel{1+16+4}}=....= \bruch{42}{\wurzel{21}}[/mm]

Genau das habe ich auch heraus.

> d²=84....

Sofern man das d nicht mit Durchmesser verwechselt. Gemeint ist natürlich, wie du das auch interpretiert hast, der Abstand bzw. Radius ins Quadrat.

>  
> dann ist die gleichung: (x-5)²+(y+6)²+(z-1)²)=84

[ok]

>  x²-10x+25+y²+12y+36+z²-2z+1=84

[ok]

>  x²+y²+z²-10x+12y-2z=60

[notok]

Hier hat sich ein Rechenfehler eingeschlichen, betrachten wir den vorherigen SChritt

[mm] x^2-10x\blue{+25}+y²+12y\blue{+36}+z²-2z\blue{+1}=84 [/mm]

Addieren wir das blaue, so erhalten wir

[mm] x^2-10x+y²+12y+z²-2z\blue{+62}=84 [/mm]

Bringen wir die 62 auf die andere Seite, indem wir beide Seiten mit -62 erweitern:

[mm] x^2-10x+y²+12y+z²-2z\blue{+62-62}=84-62 [/mm]


[mm] x^2-10x+y²+12y+z²-2z=22 [/mm]

>  
> passt [mm] dx^2-10x+y²+12y+z²-2z=60 [/mm]

Daher hast du dich leider irgendwie verrechnet.

Aber was sagen denn die Lösungen, wenn du dir da so unsicher bist? Gibt es da irgendeinen Widerspruch?


Viele Grüße
Disap

Bezug
                                
Bezug
Kugelgleichung, Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 Mo 03.04.2006
Autor: wonderwall

danke!
manchmal bin ich ein hirni, dummer rechenfehler

morgen bekomm ich mein lösungsheft wieder, dann schau ich nach

lg ww
Bezug
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