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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Do 13.05.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 4. Gegeben sind die Punkte A(1/2/-2) B(5/6/0) und C(5/0/3).
E sei die Ebene durch die Punkte A, B und C. Eine Kugel k berührt die Ebene im Punkt C. Zudem liegt der Punkt P(7/2/-5) auf der Kugelfläche. Bestimme die Gleichung der Kugel. |
hallo,
da ja die Ebene ABC die Tangentialebene ist liegt der Mittelpunkt sicher auf dem Normalenvektor der durch den Punkt C geht. Für diese Gerade habe ich :
$ [mm] \vektor{5\\0\\3} [/mm] + [mm] t\vektor{2\\-1\\-2}
[/mm]
erhalten.
Die schneide ich jetzt mit der Normalenebene welche durch den Mittelpunkt der Strecke [mm] \overline{CP} [/mm] liegt und auch senkrecht zu dieser liegt. Für diese Ebene erhalte ich bei einem Mittelpunkt für [mm] \overline{CP} [/mm] bei [mm] \vektor{6\\1\\-1} [/mm] diese Gleichung:
$2x+2y-8z - 6 = 0 $
Schneide ich jetzt die Gerade mit der Ebene erhalte ich ein sehr unschönes Ergebnis [mm] (t=\frac{10}{9}) [/mm] das noch nicht einmal stimmt.
Was habe ich falsch gemacht?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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Hallo,
> 4. Gegeben sind die Punkte A(1/2/-2) B(5/6/0) und C(5/0/3).
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> E sei die Ebene durch die Punkte A, B und C. Eine Kugel k
> berührt die Ebene im Punkt C. Zudem liegt der Punkt
> P(7/2/-5) auf der Kugelfläche. Bestimme die Gleichung der
> Kugel.
> hallo,
>
> da ja die Ebene ABC die Tangentialebene ist liegt der
> Mittelpunkt sicher auf dem Normalenvektor der durch den
> Punkt C geht. Für diese Gerade habe ich :
>
> $ [mm]\vektor{5\\0\\3}[/mm] + [mm]t\vektor{2\\-1\\-2}[/mm]
>
>
> erhalten.
>
> Die schneide ich jetzt mit der Normalenebene welche durch
> den Mittelpunkt der Strecke [mm]\overline{CP}[/mm] liegt und auch
> senkrecht zu dieser liegt. Für diese Ebene erhalte ich
> bei einem Mittelpunkt für [mm]\overline{CP}[/mm] bei
> [mm]\vektor{6\\1\\-1}[/mm] diese Gleichung:
>
> [mm]2x+2y-8z - 6 = 0[/mm]
>
Wie kommst du hier auf -6? Wenn ich das Skalarprodukt [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ -8}* \vektor{6 \\ 1 \\ -1} [/mm] ausrechne, komm ich auf 22...
> Schneide ich jetzt die Gerade mit der Ebene erhalte ich ein
> sehr unschönes Ergebnis [mm](t=\frac{10}{9})[/mm] das noch nicht
> einmal stimmt.
>
> Was habe ich falsch gemacht?
Dich scheinbar beim Skalarprodukt verrechnet.
Mein alternativer Ansatz wäre übrigens statt die Normalenebene aufzustellen, [mm] |\overrightarrow{MP}| [/mm] = [mm] |\overrightarrow{MC}| [/mm] auszurechnen, wobei [mm] \overrightarrow{0M} [/mm] = [mm] \vektor{5+2t \\ -t \\ 3-2t} [/mm] sein soll.
Viele Grüße
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hallo, wenn die Konstante 22 ist , erhalte ich $t=2$ was allerdings laut Lösungen nicht stimmt.
Dein Weg:
[mm] \overrightarrow{MC}=\vektor{-2t\\t\\2t}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{MP}=\vektor{2-2t\\2+t\\2t-8}
[/mm]
dann also Betrag und gleichsetzen:
[mm] 4t^{2}+t^{2}+4t^{2}=4-8t+4t^{2}+4+4t+t^{2}+4t^{2}-32t+64 [/mm]
ergibt wieder t = 2
??
danke für die Hilfe ms2008de
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 14.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Sa 15.05.2010 | | Autor: | weduwe |
die gerade durch C auf der M liegt hat die gleichung
[mm] \vec{x}=\vektor{5\\0\\3}+t\vektor{-2\\1\\2}
[/mm]
aus [mm] |MP|=|MC|\to (2t+2)^2+(t-2)^2+(2t+8)^2=9t^2 [/mm] folgt [mm]t=-2[/mm] und damit M(9/-2/-1) und r = 6 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Sa 15.05.2010 | | Autor: | kushkush |
hallo weduwe,
ich habe die Ebene aus den Punkte [mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{4\\4\\2} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC}=\vektor{4\\-2\\5} [/mm] gemacht. Jetzt erhalte ich wenn ich das Vektorprodukt dieser beiden nehme : [mm] \vektor{24\\-12\\-24} [/mm] also Normalenvektor [mm] \vektor{2\\-1\\-2}. [/mm]
Wie kommst du auf die Negativvariante [mm] \vektor{-2\\1\\2}??
[/mm]
danke!
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Hallo!
Für das Vektorprodukt gilt doch [mm] \vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a} [/mm] .
Aber das ist jacke wie Hose, denn es kommt dir alleine auf die Grade an, auf der dein gesuchter Punkt ist. Dann wird halt auch der Parameter t ein anderes Vorzeichen haben, und du landest beim selben Punkt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Sa 15.05.2010 | | Autor: | kushkush |
hallo,
das Problem ist ja, ich lande eben nicht beim selben Punkt...
danke!
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