Kugel und Reflexionsgesetz < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Do 09.02.2006 | | Autor: | Wolfi87 |
| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem geht von der punktförmigen Lichtquelle L (12/13/14) ein Lichtstrahl l mit dem Richtungsvektor (-5/-5/-4) aus. Er trifft die Kugel K mit Mittelpunkt M (0/0/0) und Radius r = 7LE im Punkt P.
a) Ermitteln Sie die Koordinaten von P.
b) In P wird der Lichtstrahl l reflektiert. Bestimmen Sie eine Gleichung des reflektierten Strahls l*. Erklären Sie dabei Ihre Überlegungen anhand einer geeigneten Skizze.
c) Überprüfen Sie Ihr Ergebnis für l* mittels einer Winkelberechnung. |
zu a) Hier habe ich zunächst die Gerade des Lichtstrahls aufgestellt (Aufpunkt L + k mal Richtungsvektor) und diese dann in die Kugelgleichung [mm] x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2-49=0 [/mm] (aus der Angabe) eingesetzt, 2 Lösungen für k erhalten und diese in g eingesetzt und dadurch die Punkte P (2/3/6) und P (-5,5/-4,5/0) erhalten.
Gesucht ist nun der Punkt P von wo aus der Strahl reflektiert wird, doch welcher der ebiden ist das? Der mit dem kürzeren Abstand zu L?
zu b) Wie bestimme ich die Gleichung des reflektierten Strahls l*? Man braucht laut Refelxionsgesetz eine "Lotgerade" . Kann man dafür eine Verlängerung des Radius nhemen durch den Punkt P? Und wenn ja, wie bekomme ich dann l*? Spiegelung von l an dieser "Lotgeraden"?
Wie sieht das rechnerisch konkret aus?
c) Rechnerisch kann ich mir da drunter noch nichts vorstellen, ist wohl Aufgabe b) Voraussetzung, aber ich denke, man muss den Winkel zwischen l und der "Lotgeraden" mit dem zwischen "Lotgeraden" und l* vergleichen in irgendeiner Form.
Danke für eure Hilfe! Muss diese Aufgabe als Referat in 13/2 halten, was 50% der Semesternote ausmacht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Do 09.02.2006 | | Autor: | Lolli |
> In einem kartesischen Koordinatensystem geht von der
> punktförmigen Lichtquelle L (12/13/14) ein Lichtstrahl l
> mit dem Richtungsvektor (-5/-5/-4) aus. Er trifft die Kugel
> K mit Mittelpunkt M (0/0/0) und Radius r = 7LE im Punkt P.
> a) Ermitteln Sie die Koordinaten von P.
> b) In P wird der Lichtstrahl l reflektiert. Bestimmen Sie
> eine Gleichung des reflektierten Strahls l*. Erklären Sie
> dabei Ihre Überlegungen anhand einer geeigneten Skizze.
> c) Überprüfen Sie Ihr Ergebnis für l* mittels einer
> Winkelberechnung.
Einen schönen guten Abend Wolfi87
> zu a) Hier habe ich zunächst die Gerade des Lichtstrahls
> aufgestellt (Aufpunkt L + k mal Richtungsvektor) und diese
> dann in die Kugelgleichung [mm]x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2-49=0[/mm]
> (aus der Angabe) eingesetzt, 2 Lösungen für k erhalten und
> diese in g eingesetzt und dadurch die Punkte P (2/3/6) und
> P (-5,5/-4,5/0) erhalten.
Das hab ich jetzt mal nicht nachgerechnet.
> Gesucht ist nun der Punkt P von wo aus der Strahl
> reflektiert wird, doch welcher der ebiden ist das? Der mit
> dem kürzeren Abstand zu L?
Der gesuchte Punkt P ist der Punkt, der von L den kürzesten Abstand hat. Deine Überlegung ist richtg.
> zu b) Wie bestimme ich die Gleichung des reflektierten
> Strahls l*? Man braucht laut Refelxionsgesetz eine
> "Lotgerade" . Kann man dafür eine Verlängerung des Radius
> nhemen durch den Punkt P? Und wenn ja, wie bekomme ich dann
> l*? Spiegelung von l an dieser "Lotgeraden"?
> Wie sieht das rechnerisch konkret aus?
Siehe hierzu Skizze (is zwar nich die Beste, müsste aber doch ausreichen):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bilde dir zuerst die Tangenialebene an die Kugel im Punkt P.
Berechne dir den Abstand d von P' und Tangentialebene.
Zu P' addierst du mit Hilfe des Normaleneinheitsvektors ( [mm] \vec{n}_{0} [/mm] = [mm] \bruch{\overrightarrow{MP}}{|\overrightarrow{MP}|} [/mm] ) 2d, dann erhälst du Q.
Mit Q und P kannst du dann die reflektierte Gerade ermitteln.
> c) Rechnerisch kann ich mir da drunter noch nichts
> vorstellen, ist wohl Aufgabe b) Voraussetzung, aber ich
> denke, man muss den Winkel zwischen l und der "Lotgeraden"
> mit dem zwischen "Lotgeraden" und l* vergleichen in
> irgendeiner Form.
Wenn du beide Geraden hast, bestimmst du den Schnittwinkel von Gerade 1 mit der Tangentialebene in P und den Schnittwinkel der zweiten Geraden mit der Tangentialebene in P, beide Winkel müssten dann gleich groß sein.
> Danke für eure Hilfe! Muss diese Aufgabe als Referat in
> 13/2 halten, was 50% der Semesternote ausmacht.
Viel Erfolg!!
Wenn noch Fragen sind einfach posten.
mfg Lolli
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Do 09.02.2006 | | Autor: | riwe |
da nun klar ist, dass P(2/3/6) DER punkt ist, stelle die "lotgerade" auf: [mm] \vec{x}= \vektor{2\\ 3\\6}. [/mm] und nun bauen wir das lot auf diese gerade mit dem skalarprodukt:
[mm] \vektor{2 \\ 3\\6} \vektor{12-2t \\ 13-3t\\14-6t}=0 [/mm] liefert t = 3 und damit den lotfußpunkt S(6/9/18).
[mm] \overrightarrow{OL^\*}= \overrightarrow{OL} +2\overrightarrow{LS} [/mm] liefert L*(0/5/22).
und die schnittwinkel der diversen vektoren zu berechnen, sollte keine probleme bereiten, überaschenderweise sind sie gleich, [mm] \alpha=30.5°.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Sa 11.02.2006 | | Autor: | Wolfi87 |
Hallo Lolli,
Das Prinzip deiner Rechnung ist mir klar. Ich habe mittlerweile die Tangentialebene aufgestellt und den Abstand [mm] d(P';E_{T}) [/mm] berechnet. Dieser ist -10.5 LE. Warum "minus"? Muss ich da den Betrag nehmen?
Wo ich dann hängen bleibe, ist die Berechnung von Q. Wie sieht da genau der Ansatz aus? [mm] \vec{OQ} [/mm] = [mm] \vec{OP'} [/mm] + 2 * d(P';E) * [mm] \vec{n^{0}} [/mm] ??
Muss man hier -10.5 oder -10.5 nehmen? Hier erhlate ich für Q (1.5/4.5/18).
Wenn ich dann bei der c) die Winkelberechnung mache (Normaleneinheitsvektor der Tangentialebene skalar multipliziert mit Normaleneinheitsvektor des Richtungsvektors von l, Betrag davon und arc cos) erhalte ich den Winkel 30,5°.
Für "meinen" Punkt Q erhalte ich jedoch nur ca 27°.
Noch eine kleinen Zusatzfrage: Mein Kursleiter liebt Begründungen für Rechenschritte, wie kann man die Vorgehensweise in ein paar Sätzen erklären, WIESO dies alles gilt und WIESO man das gerade so macht/machen kann und es sinnvoll ist. Den (Rechen)Weg hab ich ja verstanden.
Danke für die Hilfe!
Wolfi
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Hallo Wolfie,
> Das Prinzip deiner Rechnung ist mir klar. Ich habe
> mittlerweile die Tangentialebene aufgestellt und den
> Abstand [mm]d(P';E_{T})[/mm] berechnet. Dieser ist -10.5 LE. Warum
> "minus"? Muss ich da den Betrag nehmen?
Es gibt keine negativen Abstände, deswegen musst du natürlich den Betrag nehmen.
Ich hoffe, dass du die Hessesche Normalenform der Ebenengleichung kennst. Das besondere an ihr ist, dass ihr Einheitsnormalenvektor vom Ursprung zur Ebene zeigt.
Die Tatsache, dass für dein Abstand eine negative Zahl herauskommt zeigt, dass der Punkt P' und der Ursprung in dem gleichen Halbraum bezüglich der Ebene liegen(das resultiert aus der Formel zur Berechnung des Abstandes zwischen Punkt und Ebene). Am besten du denkst dir in die Skizze oben noch den Ursprung, an dem der Normalenvektor in Richtung der Ebene zeigt, dazu. Daran kannst du dann deutlich sehen, dass zum Ortsvektor(!) des Punktes P' noch zweimal das Produkt aus Abstand und Normaleneinheitsvektor addieren musst( [mm] \vec{q}=\vec{p'}+2*10.5*\vec{n}^0)
[/mm]
> Wo ich dann hängen bleibe, ist die Berechnung von Q. Wie
> sieht da genau der Ansatz aus? [mm]\vec{OQ}[/mm] = [mm]\vec{OP'}[/mm] + 2 *
> d(P';E) * [mm]\vec{n^{0}}[/mm] ??
> Muss man hier -10.5 oder -10.5 nehmen? Hier erhlate ich
> für Q (1.5/4.5/18).
s.o.
> Wenn ich dann bei der c) die Winkelberechnung mache
> (Normaleneinheitsvektor der Tangentialebene skalar
> multipliziert mit Normaleneinheitsvektor des
> Richtungsvektors von l, Betrag davon und arc cos) erhalte
> ich den Winkel 30,5°.
> Für "meinen" Punkt Q erhalte ich jedoch nur ca 27°.
Ich denke, du hast den Punkt einfach nur falsch ausgerechnet(-10,5anstatt +)
Rechne es einfach nochmal nach.
> Noch eine kleinen Zusatzfrage: Mein Kursleiter liebt
> Begründungen für Rechenschritte, wie kann man die
> Vorgehensweise in ein paar Sätzen erklären, WIESO dies
> alles gilt und WIESO man das gerade so macht/machen kann
> und es sinnvoll ist. Den (Rechen)Weg hab ich ja
> verstanden.
Also...Die Begründung für die Spiegelung einer Geraden an einer Ebenen ist leicht: die Gerade ist durch zwei Punkte vollständig definiert. Wenn du sie Spiegeln willst, musst du also nur 2 Punkte Spiegeln und schon hast du die neue Gerade. ein Punkt der beiden Geraden ist Identisch, nämlich der Punkt, wo sie gespiegelt wird(P). Den kann man also übernehmen. Den anderen Punkt, den du spiegeln möchtest kannst du dir aussuchen. Du kannst entweder P' oder den Antragungspunkt L nehmen. du hast dich für P' entschieden. Also ist die gespiegelte Gerade durch Q und P vollständig definert.
Mfg
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Sa 11.02.2006 | | Autor: | Wolfi87 |
Erstmal danke für die Tips!
Ich habe das jetzt entsprechend Matthias' Ansätzen gerechnet und erhalte für Q (0.5/4.5/18). Damit stelle ich die Gerade mit Aufpunkt Q und Richtungsvektor QP auf. Den Winkel hab ich dann entsprechend dem Muster des anderen berechnet und erhalte auch hier 30,5°.
So müsste das dann ja passen, auch danke für die Erklärung an Matthias!
Was mich etwas stutzig macht: Riwe hat eine andere Methode vorgeschlagen, die ich leider nicht ganz so verstanden hab, deswegen hab ichs auch mit der von Lolly versucht (keine böse Absicht @Riwe). Nur Riwe hat als Q (=L*) (0/5/22) heraus. Mit diesem Punkt hab ich auch mal probeweise eine Gerade durch P und L* aufgestellt und den Winkel berechnet, welcher ebenfalls 30,5° ist.
Ist das denn theoretisch möglich, dass es zwei "richtige" (oder gar noch mehr) Punkte gibt, oder liegt bei der Berechnung ein Fehler vor und alles ist nur Zufall?
PS: @Riwe: Ich würde deine Methode auch gerne verstehen, also wenn du willst, kannst du sie gerne nochmal etwas ausführlicher erklären, ich bin dieser nicht abgeneigt, 2 Lösungsvarianten kommen immer gut 
Wolfi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Sa 11.02.2006 | | Autor: | riwe |
der winkel 30.5° stimmt, zum rest: warum einfach, wenn es sooo umständlich geht!
werner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Sa 11.02.2006 | | Autor: | riwe |
zunächst: das sind halt 2 verschiedene punkte auf derselben geraden, das soll vorkommen (ist nicht böse gemeint).
da ich ein fauler mensch bin, habe ich das ganze abgekürzt.
wie oben schon geschrieben, genügt es, um eine gerade (an der lotgeraden) zu spiegeln, 2 punkte zu spiegeln. dazu nehme ich den gemeinsamen punkt P, der also keine mühe mehr bereitet, und eben den punkt L "persönlich"! damit erspare ich mir den ganzen krempel mit der tangentialebene usw.
lotgerade g durch M und P, und nun bestimme ich den schnittpunkt S der auf die lotgeraden senkrechten geraden durch L. dazu benutze ich, dass richtungsvektor der lotgeraden und der vektor [mm] \overrightarrow{LS} [/mm] senkrecht aufeinander stehen, das skalarprodukt also = 0 und S logischer weise auf dem lot liegt. ich habe also die aufgabe den parameter t zu bestimmen:
[mm] \vektor{2\\ 3\\6}( \vektor{12\\ 33\\14}-t \vektor{2\\ 3\\6})=0.
[/mm]
das liefert t und einsetzen in die lotgerade S und damit wie üblich L*.
alles klar?
bleibt anzumerken: der physikalische hintergrund wird natürlich/ vermutlich bei der anderen methode klarer ersichtlich.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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