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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Mo 09.06.2008 | | Autor: | SamGreen |
| Aufgabe | Gegeben sind g: x = (-2, 0, 9)+ s (2, 0, 3) und h: x = (1, 11, 3) + t (4, -9, 3)
Bestimme die Gleichung der kleinsten Kugel, die g und h berührt.
Bestimme die Berührungspunkte G und H
Warum sind die Berührebenen G und H parallel
Welche (hier gegebene) Lage müssen die beiden Geraden haben damit die Aufgqben eindeutig lösbar ist.
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Ich brauche hier einfach einen Tipp, denn ich glaube ich denke zu kompliziert und komm nicht drauf.
Danke
Sam
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> Gegeben sind g: x = (-2, 0, 9)+ s (2, 0, 3) und h: x = (1,
> 11, 3) + t (4, -9, 3)
> Bestimme die Gleichung der kleinsten Kugel, die g und h
> berührt.
> Bestimme die Berührungspunkte G und H
> Warum sind die Berührebenen G und H parallel
> Welche (hier gegebene) Lage müssen die beiden Geraden
> haben damit die Aufgqben eindeutig lösbar ist.
>
> Ich brauche hier einfach einen Tipp, denn ich glaube ich
> denke zu kompliziert und komm nicht drauf.
Falls die Geraden windschief sind gibt es eine eindeutig bestimmte "Minimaltransversale", d.h. eine kürzeste Verbindungsstrecke zweier Punkte dieser beiden Geraden. Diese Minimaltransversale steht auf beiden Geraden senkrecht, so dass man diese Strecke als Durchmesser der gesuchten kleinsten Kugel erhält, die die beiden Geraden berührt. Der Mittelpunkt dieser Kugel ist natürlich der Mittelpunkt der Minimaltransversalen.
Sind die Geraden parallel (aber nicht identisch), so gibt es unendlich viele Kugeln minimaler Grösse, die beide Geraden berühren: ihre Mittelpunkte liegen auf der Mittelparallelen und ihr Radius ist der halbe Abstand der beiden Geraden.
Schneiden sich die Geraden, so gibt es keine Kugel minimaler Grösse, weil in diesem Falle Kugeln beliebig kleiner Grösse existieren, die beide Geraden berühren (ihre Mittelpunkte liegen auf den Winkelhalbierenden der beiden Geraden).
Die Frage ist allerdings, ob solche "anschaulichen" Überlegungen zulässig sind, oder ob Du einen rein rechnerischen Weg gehen musst (via Differentialrechnung)...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Mo 09.06.2008 | | Autor: | SamGreen |
Gesucht ist natürlich ein rechnerischer WEg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Somebody |
> Gesucht ist natürlich ein rechnerischer WEg.
Ok, aber ist ein rein rechnerischer Weg gesucht? Ein rechnerischer Weg kann zwar die exakte Lösung (eben: rechnerisch) liefern, er löst aber unter Umständen nicht in einem völlig anschauungsfreien, exakten Sinne eine Extremwertaufgabe. Leider weiss ich überhaupt nichts über Deinen Hintergrund (Grundwissen). Ist also das Aufstellen und Lösen einer Extemwertaufgabe verlangt?
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> Gesucht ist natürlich ein rechnerischer WEg.
Ich würde dir aber eher empfehlen, hier nicht zur
Differentialrechnung zu greifen, sondern zur Vektor-
geometrie bzw. Vektorrechnung !
(am Ende ist es Geschmackssache...)
Du kannst zuerst prüfen, ob die Geraden windschief sind -
sehr wahrscheinlich sind sie es.
Da die Minimaltransversale auf beiden Geraden senkrecht
steht, kann man für sie mittels Vektorprodukt leicht einen
Richtungsvektor bestimmen.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Mo 09.06.2008 | | Autor: | weduwe |
> Gesucht ist natürlich ein rechnerischer WEg.
bestimme die beiden "lotpunkte" P und Q der windschiefen geraden.
deren mittelpumkt ist der mittelpunkt der gesuchten kugel, ihr radius der halbe abstand von P und Q.
die ebenen sind parallel, da sie denseben normalenvektor [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] haben
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