Kugel anpassen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte
A(10/-5/6), B(10/1/0), C(6/5/-2)
Die Ebene E, welche A,B und C enthält und der Punkt O bilden eine Pyramide.
1)Berechnen Sie das Volumen
2)Bestimmen Sie den maximalen Radius der Kugel welche innerhalb der Pyramide liegt und alle 4 Außenflächen berührt. |
Hallo Form,
Für die Ebene hab ich raus: [mm] x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=12
[/mm]
Die Schnittpunkte mit den Achsen lauten dann: [mm] S_{1}(12/0/0), S_{2}(0/6/0) [/mm] und [mm] S_{3}(0/0/6)
[/mm]
Für das Volumen hab ich dann raus: 72.
Nun meine Frage:
Wie bestimme ich diesen Radius in 2)? Ich steh da völlig auf dem Schlauch.
Ich bitte um Hilfe.
Ciao und guten Rutsch
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Hallo,
> Gegeben sind die Punkte
> A(10/-5/6), B(10/1/0), C(6/5/-2)
>
> Die Ebene E, welche A,B und C enthält und der Punkt O
> bilden eine Pyramide.
> 1)Berechnen Sie das Volumen
> 2)Bestimmen Sie den maximalen Radius der Kugel welche
> innerhalb der Pyramide liegt und alle 4 Außenflächen
> berührt.
> Hallo Form,
>
> Für die Ebene hab ich raus: [mm]x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=12[/mm]
> Die Schnittpunkte mit den Achsen lauten dann:
> [mm]S_{1}(12/0/0), S_{2}(0/6/0)[/mm] und [mm]S_{3}(0/0/6)[/mm]
Bis hierhin passt das. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für das Volumen hab ich dann raus: 72.
Das ist nach meiner Rechnung falsch. Zur Kontrolle: ich bekomme V=24VE heraus (wobei es mich wundert, dass dies genau ein Drittel deines Resultates ist). Wie hast du das berechnet?
> Nun meine Frage:
> Wie bestimme ich diesen Radius in 2)? Ich steh da völlig
> auf dem Schlauch.
> Ich bitte um Hilfe.
Es gibt mehrere Möglichkeiten. Du könntest bspw. einen Mittelpunkt [mm] M(m_1|m_2|m_3) [/mm] ansetzen und die Abstände zu den vier Seitenflächen (Abstandsformel Punkt-Ebene) gleichsetzen.
Ein eleganterer Ansatz ist es in meinen Augen, für drei Pyramidenkanten die winkelhalbierenden Ebenen zu bestimmen. Der Schnittpunkt dreier solcher Ebenen muss der Mittelpunkt der Inkugel sein. Der Radius dürfte dann ja kein Problem mehr sein, wennn man die Koordinaten des Mittelpunktes einmal hat.
Bei vielen solcher Aufgaben kann man auch Symmetrieen ausnutzen, das sehe ich hier aber nicht gegeben.
Gruß & ein gutes neues Jahr 2014, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 Mo 30.12.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
Der Unterschied in den Volumen rührt wahrscheinlich daher, dass [mm] V_{OABC} [/mm] = 24 und [mm] V_{OS_1S_2S_3} [/mm] = 72 ist.
Wenn letzteres gemeint ist, lässt sich M = (x|x|x) ansetzen und mit d(E,M)=x dann x=1,5 berechnen.
Gruß Sax.
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> Hi,
>
> Der Unterschied in den Volumen rührt wahrscheinlich daher,
> dass [mm]V_{OABC}[/mm] = 24 und [mm]V_{OS_1S_2S_3}[/mm] = 72 ist.
>
Ok, da habe ich wohl die Frage nicht eindeutig formuliert.
Ich meinte natürlich, dass die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen und der Punkt O zusammen eine Pyramide bilden.
Danke fürs nachrchnen 
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> Gegeben sind die Punkte
> A(10/-5/6), B(10/1/0), C(6/5/-2)
>
> Die Ebene E, welche A,B und C enthält und der Punkt O
> bilden eine Pyramide. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Eine Ebene und ein Punkt sollen eine Pyramide
bilden ?
Was für eine "neue Geometrie" soll denn das sein ??
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Mo 30.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sind die Punkte
> A(10/-5/6), B(10/1/0), C(6/5/-2)
>
> Die Ebene E, welche A,B und C enthält und der Punkt O
> bilden eine Pyramide.
> 1)Berechnen Sie das Volumen
> 2)Bestimmen Sie den maximalen Radius der Kugel welche
> innerhalb der Pyramide liegt und alle 4 Außenflächen
> berührt.
Hallo,
wenn du den Inkugelmittelpunkt mit allen 4 Eckpunkten der Pyramide verbindest, zerlegst du die Pyramide dadurch in 4 Teilpyramiden, deren Grundfläche jeweils eine der 4 Pyramidenflächen ist und deren Höhe jeweils der Inkugelradius ist.
Es gilt somit [mm]V_{gesamt}=\frac13*A_1*r+ \frac13*A_2*r+ \frac13*A_3*r +\frac13*A_4*r= \frac13*A_O*r[/mm].
Somit gilt r=[mm]\frac{3V}{A_O}[/mm].
Gruß Abakus
> Hallo Form,
>
> Für die Ebene hab ich raus: [mm]x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=12[/mm]
> Die Schnittpunkte mit den Achsen lauten dann:
> [mm]S_{1}(12/0/0), S_{2}(0/6/0)[/mm] und [mm]S_{3}(0/0/6)[/mm]
> Für das Volumen hab ich dann raus: 72.
>
> Nun meine Frage:
> Wie bestimme ich diesen Radius in 2)? Ich steh da völlig
> auf dem Schlauch.
> Ich bitte um Hilfe.
>
> Ciao und guten Rutsch
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Ich habe es jetzt mal so probiert wie Diophant es vorgeschlagen hat und habe gesagt, dass die Normalenvektoren aller vier Ebenen (E: [mm] x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=12, [/mm] die [mm] x_{1}x_{2}-Ebene, [/mm] die [mm] x_{2}x_{3}-Ebene [/mm] und die [mm] x_{1}x_{3}-Ebene) [/mm] sich in einem Punkt [mm] M(m_{1}/m_{2}/m_{3}) [/mm] schneiden und dieser Punkt von jeder Ebene r Einheiten entfernt liegt.
Dazu habe ich diese Abstandsform in der Hesse'sche Normalnform gewählt:
[mm] n_{0E}=\bruch{1}{3}\vektor{1\\2\\2} [/mm] ,
Normalenvektor der [mm] x_{1}x_{2}-Ebene: \vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Normalenvektor der [mm] x_{2}x_{3}-Ebene: \vektor{1\\0\\0}
[/mm]
Normalenvektor der [mm] x_{1}x_{3}-Ebene: \vektor{0\\1\\0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] r=|\vektor{m_{1}\\ m_{2}\\m_{3}}-\vektor{10\\ -5\\6}\bruch{1}{3}\vektor{1\\ 2\\2}|=|\vektor{m_{1}-10\\ m_{2}+5\\m_{3}-6}\vektor{1\\ 2\\2}\bruch{1}{3}|=\bruch{1}{3}(m_{1}-10+2m_{2}+10+2m_{3}-12)=\bruch{1}{3}(m_{1}+2m_{2}+2m_{3}-12)
[/mm]
[mm] r=|\vektor{m_{1}\\ m_{2}\\m_{3}}\vektor{0\\0\\1}|=m_{3},
[/mm]
[mm] r=|\vektor{m_{1}\\ m_{2}\\m_{3}}\vektor{1\\0\\0}|=m_{1},
[/mm]
[mm] r=|\vektor{m_{1}\\ m_{2}\\m_{3}}\vektor{0\\1\\0}|=m_{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow r=m_{1}=m_{2}=m_{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow m_{1}=\bruch{1}{3}(5m_{1}-12)
[/mm]
[mm] m_{1}=6
[/mm]
Also wäre M(6/6/6)
Das kann aber nicht sein, da dieser Punkt außerhalb der Pyramide liegt.
Wo ist mein Denkfehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mi 01.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
der Denkfehler liegt hier :
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]r=|\vektor{m_{1}\\ m_{2}\\m_{3}}-\vektor{10\\ -5\\6}\bruch{1}{3}\vektor{1\\ 2\\2}|=|\vektor{m_{1}-10\\ m_{2}+5\\m_{3}-6}\vektor{1\\ 2\\2}\bruch{1}{3}|=\bruch{1}{3}(m_{1}-10+2m_{2}+10+2m_{3}-12)=\bruch{1}{3}(m_{1}+2m_{2}+2m_{3}-12)[/mm]
>
Es fehlen Betragsstriche.
Deshalb wird nicht
> [mm]\Rightarrow m_{1}=\bruch{1}{3}(5m_{1}-12)[/mm]
>
sondern [mm]\Rightarrow -m_{1}=\bruch{1}{3}(5m_{1}-12)[/mm]
>
Gruß Sax.
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> Hi,
>
> der Denkfehler liegt hier :
>
>
> > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > [mm]r=|\vektor{m_{1}\\ m_{2}\\m_{3}}-\vektor{10\\ -5\\6}\bruch{1}{3}\vektor{1\\ 2\\2}|=|\vektor{m_{1}-10\\ m_{2}+5\\m_{3}-6}\vektor{1\\ 2\\2}\bruch{1}{3}|=\bruch{1}{3}(m_{1}-10+2m_{2}+10+2m_{3}-12)=\bruch{1}{3}(m_{1}+2m_{2}+2m_{3}-12)[/mm]
>
> >
> Es fehlen Betragsstriche.
> Deshalb wird nicht
>
> > [mm]\Rightarrow m_{1}=\bruch{1}{3}(5m_{1}-12)[/mm]
> >
> sondern [mm]\Rightarrow -m_{1}=\bruch{1}{3}(5m_{1}-12)[/mm]
> >
Stimmt, da habe ich die Betragsstriche vergessen.
Aber warum wir dann aus dem [mm] m_{1} (-m_{1})? [/mm] Abstände sind doch immer positiv und ich sage ja, dass [mm] r=m_{1}=m_{2}=m_{3}?
[/mm]
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Hallo,
Du hattest
[mm] r=m_1=m_2=m_3.
[/mm]
Aus der ersten Gleichung ergibt sich damit
[mm] m_1=|\bruch{1}{3}(5m_1-12)|.
[/mm]
Ist das, was in den Betragstrichen steht, positiv,
so bekommt man
[mm] m_1=\bruch{1}{3}(5m_1-12) [/mm] und daraus den von Dir errechneten Punkt, der Dir nicht gefällt.
Ist das, was in den Betragstrichen steht, negativ, so bekommt man
[mm] m_1=-(\bruch{1}{3}(5m_1-12)).
[/mm]
(Wenn Du es nicht verstehst, bedenke dies: bei negativen Zahlen drehen Betragstriche das Vorzeichen um: |-5|=-(-5)=5)
Aus dieser Gleichung bekommst Du dann die passende Lösung.
LG Angela
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Alles klar, habs verstanden.
Also hat M die Koordinaten [mm] (\bruch{3}{2}/\bruch{3}{2}/\bruch{3}{2}) [/mm] und ist [mm] \bruch{3}{2} [/mm] von den vier Ebenen entfernt.
Danke für eure Hilfe
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