Kugel & Gerade -> Tangente... < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Chipsy |
Ich bräuchte ganz dringen Hilfe bei einer Aufgabe und wäre euch für Hilfe wirklich sehr dankbar!
Lösungsansätze hab ich vll schon...
Aufgabe:
Gegeben sind die Kugeloberfläche K und die Gerade gp.
K: x * x = 15
gp: x = (1; 1; p) + µ (0; 1; 0)
a) Bestimme p so, dass der Geraden gp Tangenten an die Kugeloberfläche sind.
Hm, bisher haben wir an eine Kugel nur Tangentialebenen aufgestellt mittels der Formel r2 = MX * MA
Aber wie funktioniert das mit Tangenten?? Ist es richtig die Gerade in
die Kugelgleichung einzusetzen und nach p aufzulösen, p dann wieder
in die Gerade einzusetzen und den genauen wert zu ermitteln?
Mit zwei Variablen ziemlich schwer...
b) Zeige, dass die zwei in a) gefundenen Tangenten zueinander Parallel sind.
Da bin ich mir eigentlich recht sicher wie es geht:
-> die Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit überprüfen
-> wenn linear angängig sind sie parrallel oder identisch
-> gleichsetzen, wenn man keinen Schnittpunkt erhält parallel oder Punktprobe
c) Berechne den kürzesten Abstand dieser beiden Tangenten.
hm, wahrscheinlich bestimmt man erstmal den Normalenvektor, der senkrecht auf den beiden Geraden steht.
hm, ja dann weiß ich nicht so recht, stellt man eine
Ebene auf die von einem Richtungsvektor und dem Vektor n erzeugt wird ?
Dann würde ich den Schnittpunkt D der anderen Gerade mit der Ebene berechnen durch einsetzen?
Eine Lotgerade durch D zur anderen Gerade aufstellen.
Den Schnittpunkt S der Lotgeraden und g berechnen und
schließlich den Abstand zwischen S und D?
Geht das? Gehts auch einfacher? *g*
d) Enthält ein gemeinsames Lot der beiden Tangenten einen Durchmesser der Kugeloberfläche?
ich denk mal damit ist gemeint ob sie sich genau an gegenüber stehenden seiten der Kugel befinden. Wenn das so ist müsste der Abstand der Durchmesser der Kugel sein?
f) Bestimme die Schnittgerade und die gegenseitige Neigung dieser Tangentialebenen.
Was ist mit Neigung gemeint? Welche Tangentialebenen überhaupt, vorher
war noch die Rede von Tangenten...
Ich weiß die Aufgabe ist ziemlich umfangreich, aber es ist wirklich sehr sehr wichtig, möglicherweise muss ich sie vor der Klasse präsentieren...
Wäre schön, wenn ihr sie mir möglichst kleinschrittig erklären
könntet...
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/22603,0.html?sid=990af6832a04f6428ef43743d1d0d719
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Hallo,
> Aufgabe:
>
> Gegeben sind die Kugeloberfläche K und die Gerade gp.
>
> K: x * x = 15
>
> gp: x = (1; 1; p) + µ (0; 1; 0)
>
> a) Bestimme p so, dass der Geraden gp Tangenten an die
> Kugeloberfläche sind.
>
> Hm, bisher haben wir an eine Kugel nur Tangentialebenen
> aufgestellt mittels der Formel r2 = MX * MA
> Aber wie funktioniert das mit Tangenten?? Ist es richtig
> die Gerade in
> die Kugelgleichung einzusetzen und nach p aufzulösen, p
> dann wieder
> in die Gerade einzusetzen und den genauen wert zu
> ermitteln?
Ja, das ist richtig. Die Gleichung der Geraden in die Kugelgleichung einsetzen und die zugehörige quadratische Gleichung lösen. Eines mußt allerdings noch beachtet werden: Da die Gerade Tangente an die Kugel sein soll, muß die Gerade mit der Kugel nur einen Punkt gemeinsam haben.
> Mit zwei Variablen ziemlich schwer...
>
Löse mal die entstehende quadratische Gleichung. Da es nur eine Lösung geben soll, ist der Wert der Diskriminante (Ausdruck unter der Wurzel) 0. Dann kannst Du hoffentlich eine Aussage über das p machen.
> b) Zeige, dass die zwei in a) gefundenen Tangenten
> zueinander Parallel sind.
>
> Da bin ich mir eigentlich recht sicher wie es geht:
> -> die Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit
> überprüfen
> -> wenn linear angängig sind sie parrallel oder identisch
> -> gleichsetzen, wenn man keinen Schnittpunkt erhält
> parallel oder Punktprobe
Genauso ist es.
>
> c) Berechne den kürzesten Abstand dieser beiden Tangenten.
>
> hm, wahrscheinlich bestimmt man erstmal den Normalenvektor,
> der senkrecht auf den beiden Geraden steht.
> hm, ja dann weiß ich nicht so recht, stellt man eine
> Ebene auf die von einem Richtungsvektor und dem Vektor n
> erzeugt wird ?
> Dann würde ich den Schnittpunkt D der anderen Gerade mit
> der Ebene berechnen durch einsetzen?
> Eine Lotgerade durch D zur anderen Gerade aufstellen.
> Den Schnittpunkt S der Lotgeraden und g berechnen und
> schließlich den Abstand zwischen S und D?
>
> Geht das? Gehts auch einfacher? *g*
>
Ja, siehe "Senkrechte Projektion":
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier sind [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] die Ortsvektoren entstehenden Geraden, die da Tangenten an die Kugel sind.
[mm]b_{2}[/mm] ist der Richtungsvektor einer Geraden.
Dann gilt:
[mm]\begin{gathered}
< a_{1} \; - \;a_{2} \; - \;t\;b_{2} ,\;b_{2} \; > \; = \;0 \hfill \\
\Rightarrow \;t\; = \;\frac{{ < a_{1} \; - \;a_{2} ,\;b_{2} \; > }}
{{ < \;b_{2} ,\;b_{2} \; > }} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Chipsy |
Also, senkrechte Projektion hatten wir nie, werden wir wohl auch nicht mehr haben...
Darum wäre ich dankbar, wenn ihr mir noch eine andere Lösungsmöglichkeit vorschlagen könntet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Chipsy,
dir ein herzliches
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ihr habt bereits die senkrechte Projektion besprochen, denn was Mathepower dir zeigen wollte war, dass man mit dem Skalarprodukt genau diese berechnet! Die Schreibweise [mm] $\left< \vec{a}; \vec{b}\right>$ [/mm] bezeichnet nur das Skalarprodukt zwischen [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$, [/mm] ist halt nur eine andere Schreibweise ( [mm] $\left< \vec{a}; \vec{b}\right>=\vec{a}\bullet \vec{b}$).
[/mm]
Guck dir jetzt nochmal die Antwort von Mathepower an, dann wirst du hoffentlich mit der Skizze schlau werden.
Gruß Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Chipsy |
könnte mir bitte noch jemand bei der letzten Teilaufgabe helfen?
Die Tangentialebenen sind nach meiner Berechnung:
E: 15=x1 + [mm] \wurzel{14}x3
[/mm]
F: 15=x1 - [mm] \wurzel{14}x3
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Chipsy |
muss ich die gleichungen dazu in parameterform umwandeln?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 So 01.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Chipsy,
leider habe ich gerade keine Zeit deine Ebenen genau zu überprüfen, aber zumindest haben beide den Abstand [mm] $r=\sqrt{15}$ [/mm] vom Mittelpunkt des Kreises.
Aber für die Schnittgerade und den Neigungswinkel ist die Koordinatenform schon optimal.
E und F bilden ja ein unterbestimmtes Gleichungssystem - die Lösungsmenge in Abhängigkeit des Parameters stellt genau die Schnittgerade dar!
Für den Neigungswinkel ist es ausreichend den Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebene zu berechnen.
Max
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:40 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Chipsy |
15 = x + √ (14)z
15 = x + √ (14)z
andere Darstellung:
15 = x1 + √ (14)x3
15 = x1+ √ (14)x3
hm, das problem mit der schnittgerade zwischen den beiden ebenen hab ich noch nicht gelöst, könnt mir das mal jemand vorrechnen, möglichst schnell wenns geht?
Dankeschön
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Di 03.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Chipsy
könntest du vielleicht irgendwann deine Formel in lesbarer Form geben?
Dann würde sich vielleicht jemand darum kümmern.
Mit lieben Grüssen
paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 Di 03.05.2005 | | Autor: | Chipsy |
Das sind Ebenengleichungen und die sind lesbar... jedenfalls behandeln wir Ebenengleichungen in dieser Form... aber wie auch immer, jetzt ists eh zu spät..
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