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Kugel, Ebene, Tangentialebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:23 Mo 20.01.2014
Autor: jessi2112

Aufgabe
die Ebene  E :2x+y+2z+6=0 schneidet die Kugel K: [mm] (x-(-2/1/-1))^2=9 [/mm] in einem Kreis k
Zeige, dass k mit der z-Achse genau einen Punkt B gemeinsam hat.
Ermittle eine Gleichung der Tangentialebene an die Kugel K in B.
Auf dem Kreis k liegen die Berührpunkte aller Tangenten, die man von einem Punkt R aus an die Kugel K legen kann. Berechne die Koordinaten von R

Ich habe keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll. Kann mir jemand ein paar Ideen geben. Ich weiß nur , dass ich die Lotgerade iwie m´ bekomme und über Pythagoras R* also [mm] MM´^2*r´^2=r^2 [/mm]
Aber wie ich zu der Kreisgleichung komme , die Tangentialebene berechne und wie ich auf r komme , weiß ich nicht.
Danke schon mal im Vorraus.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Kugel, Ebene, Tangentialebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:51 Mo 20.01.2014
Autor: MathePower

Hallo jessi2112,


[willkommenmr]


> die Ebene  E :2x+y+2z+6=0 schneidet die Kugel K:
> [mm](x-(-2/1/-1))^2=9[/mm] in einem Kreis k
>  Zeige, dass k mit der z-Achse genau einen Punkt B
> gemeinsam hat.
>  Ermittle eine Gleichung der Tangentialebene an die Kugel K
> in B.
>  Auf dem Kreis k liegen die Berührpunkte aller Tangenten,
> die man von einem Punkt R aus an die Kugel K legen kann.
> Berechne die Koordinaten von R
>  Ich habe keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll. Kann mir
> jemand ein paar Ideen geben. Ich weiß nur , dass ich die
> Lotgerade iwie m´ bekomme und über Pythagoras R* also
> [mm]MM´^2*r´^2=r^2[/mm]
>  Aber wie ich zu der Kreisgleichung komme , die
> Tangentialebene berechne und wie ich auf r komme , weiß
> ich nicht.


Zunächst kannst Du den Mittelpunkt des Schnittkreises ermittteln.

Dazu erstelle eine Gerade die durch den Mittelpunkt der Kugel geht
und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene hat:

[mm]g: \vec{x}=\pmat{-2 \\ 1 \\ -1}+t*\pmat{2 \\ 1 \\ 2}[/mm]

Schneide diese Gerade g mit der Ebene E.

Aus dem Abstand des Schnittpunktes zum Mittelpunkt der Kugel
und dem Radius der Kugel kannst Du den Radius des Schnittkreises
berechnen.


>  Danke schon mal im Vorraus.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Kugel, Ebene, Tangentialebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Do 23.01.2014
Autor: weduwe

das geht noch etwas einfacher

aus der kugelgleichung folgt für die schnittpunkte mit der z-achse:
[mm]B(0/0/\pm 2-1)[/mm]

davon erfüllt nur der punkt B(0/0/-3) die ebenengleichung E.

damit kann man sofort die gleichung der tangentialebene aufstellen.

diese schneidet man mit der von Mathepower angegebenen geraden und erhält den gesuchten punkt R

Bezug
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