Kugel..Tangentialebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Reiskorn |
Hallo!
Also hab da mal ne Frage:
Hab ne Kugel in Vektorform gegeben (also x-Vektor ins Quadrat) und eine Gerade in Vektorform. Wie berechne ich die Berührpunkt dann die Tangentialebenene?
Wie berechnet man die lage zwischen Gerade und Strecke? Was muss man da beachten?
Ciao. Danke Schon mal. euer reiskorn
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Reiskorn
Es wäre schön wenn du uns deine Kugelgleichung und die Geradengleichung mal postest. Dann können wir dir viel besser helfen!!!
Gruß Fabian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Reiskorn |
Also die KUgel
x(Vektor)²=9
Gerade...x(Vektor)=(3 6 0)+k(-1 -4 0) (Vektoren, sorry weiß ni wie es anders geht?!)
Zu der zweiten Frage hab ich kein Bsp. Nur so allgemein?!
Vielleicht kannst du mir trotzdem helfen?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Reiskorn |
Hab da noch ne Frage zu dem Gleichungssystem. Da müsste man ja die Werte für die Paramter der Richtungsvektoren rausbekommen z.B. s und t
Wenn die ne wahre aussage ergeben, setzt man die in die Gleichung und bekommt x und y oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Reiskorn
schau dir doch mal diese Seite an: ![[]](/images/popup.gif) www.mathe-aufgaben.de . Da findest du massig Erklärungen zu deinen Fragen!!!
Gruß Fabian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Reiskorn |
Kann mir bei der ersten Frage keiner helfen?
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Hallo Reiskorn,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Also die KUgel
> x(Vektor)²=9
du meinst: [mm] \left( \vektor {x_1\\x_2\\x_3} - \vec{0} \right)^2 = 3^2[/mm] ?
> Gerade...x(Vektor)=(3 6 0)+k(-1 -4 0)
[mm] $\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{3\\6\\0} [/mm] + [mm] k*\vektor{-1\\-4\\0}$
[/mm]
Die Koordinaten des Berührpunkt müssen beide Gleichungen erfüllen
[mm] \Rightarrow [/mm] du kannst k berechnen und kennst dann B [mm] $(b_1| b_2| b_3)$.
[/mm]
Anschließend setzt du B in die allg Gleichung der Tangentialebene ein:
[mm] $(\vec{b} [/mm] - [mm] \vec{0}) \* (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{0}) [/mm] = [mm] 3^2$
[/mm]
> (Vektoren, sorry
> weiß ni wie es anders geht?!)
schau mal unter dem Eingabefeld, dort stehen die wichtigsten Symbole und Eingabehilfen. 
> Zu der zweiten Frage hab ich kein Bsp. Nur so allgemein?!
> Vielleicht kannst du mir trotzdem helfen?!
>
kommst du jetzt alleine weiter?
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Ich kann dir sagen, wie man die Lage von einer Geraden und einer Strecke zu einander untersucht.
Da gibts die Möglichkeit, dass die Strecke auf der Geraden liegt. Dies prüfst du durch die Punktprobe (setze einen Punkt der Strecke in die Geradengleichung ein, ist das Gleichungssystem lösbar, liegt die Strecke auf der Geraden.)
Du kannst auch untersuchen, ob sich eine Strecke und eine Gerade schneiden. Hier stellst du auch für die Strecke eine Geradengleichung (mit Hilfe der 2 gegebenen Streckenpunkte) auf. Vorsicht, Richtungsvektor nicht vereinfachen!
Nun entwickelst du wieder ein Gleichungssystem (Geradengleichung und Streckengleichung gleich setzen). Wenn das Gleichungssystem eine Lösung hat, errechnest du den Schnittpunkt.
Nun prüfst du, ob der Schnittpunkt auf der Strecke liegt, indem du den Punkt in die Streckengleichung einsetzt. Liegt dein Parameter zwischen 0 und 1, ist der Punkt in der Strecke enthalten. Liegt der Parameter nicht in diesem Bereich, liegt der Punkt auf der Geraden, die die Strecke enthält, nicht aber auf der Strecke selber.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Reiskorn |
Hi!
Danke für die Antwort. Was meinst du mit nicht verienfachen des Richtungsvektors? ist doch Ende minus Anfang oder??
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Ja klar. Aba wenn dein Richtungsvektor (8;16;8) heißt, würde man den normalerweise auf (1;2;1) kürzen, da es ja nur um die Richtung geht. Das darf man bei deinem Problem jedoch nicht machen, weil das sonst mit dem Parameter etwas kompliziert wird.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Mo 31.01.2005 | | Autor: | dominik |
Also:
Die Gerade hat jetzt also die Gleichung [mm] \vec{r}= \vektor{x \\ y\\z}= \vektor{3 \\ 6\\0}+t*\vektor{-1 \\ -4\\1} \gdw x=3-t \wedge y=6-4t \wedge z=t[/mm]
Die Kugel hat die Gleichung [mm] (\vec{r})^2= \vektor{x \\ y\\z}^2=9 \gdw x^2+y^2+z^2=9[/mm]. Ihr Mittelpunkt liegt im Ursprung des Koordinatensystems.
Nun werden die Kugel und die Gerade miteinander geschnitten:
[mm](3-t)^2+(6-4t)^2+t^2=9 \gdw t^2-3t+2=0 \gdw (t-1)(t-2)=0 \Rightarrow t=1 \vee t=2[/mm]
Für t=1 ergibt sich der Schnittpunkt A(2/2/1), für t=2 B(1/-2/2).
In beiden Punkten wird nun die Tangentialebene erstellt:
[mm] \overrightarrow{MA}*\overrightarrow{AR}=\vektor{2-0\\ 2-0\\1-0}*\vektor{x-2 \\y-2\\z-1}=0[/mm], da der Radius der Kugel senkrecht zur Ebene liegt.
Die Ebene enthält den Punkt A und den "laufenden Punkt" R(x/y/z).
Diese Gleichung ist dann die Gleichung der Tangentialebene. Sie kann folgendermassen zur Koordinatengleichung ausmultipliziert werden:
[mm]\vektor{2-0\\ 2-0\\1-0}*\vektor{x-2 \\y-2\\z-1}=0 \gdw \vektor{2\\ 2\\1}*\vektor{x-2 \\y-2\\z-1}=0 \gdw 2*(x-2)+2*(y-2)+1*(z-1)=0 \gdw 2x+2y+z-9=0[/mm]
Kontrolle:
1. Der Normalenvektor der Ebene wird aus den Koeffizienten von x,y und z gebildet und lautet [mm] \vektor{2\\2\\1}. [/mm] Dieser Vektor ist aber nichts anderes als der Vektor [mm] \overrightarrow{OA}
[/mm]
2. Die Hessesche Normalform der Ebene lautet [mm] \bruch{2x+2y+z-9}{\wurzel{2^2+2^2+1^2}}=0
[/mm]
Für x, y und z wird nun jeweils 0 eingesetzt (Koordinaten des Mittlpunktes der Kugel), um den Abstand der Ebene vom Nullpunkt zu bestimmen. Von allfälligen negativen Werten wird noch der Betrag genommen (hier: -9):
[mm] \bruch{9}{\wurzel{9}}=3; [/mm] dies ist aber der Radius der Kugel.
Für die andere Ebene verfährt man analog.
Viele Grüsse
dominik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Di 01.02.2005 | | Autor: | Reiskorn |
sorry, angabe stimmt ni.
der richtungsvektor ist (-1 -4 1)
Es gibt keine Variable
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Reiskorn |
Danke an alle. Habt mir sehr geholfen!
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