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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Do 07.06.2012 | | Autor: | umbras |
| Aufgabe | Man zeige, dass für alle a, b, c aus [mm] \IN [/mm] gilt:
[mm] a^{b}=c^b \Rightarrow [/mm] a = c |
Wie beweise ich das? Geht das mit vollständiger Induktion? Kann man mit vollständiger Induktion nicht nur Gleichungen beweisen?
P.S. Ja, eigentlich ist es ein Gegenbeweis.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Man zeige, dass für alle a, b, c aus [mm]\IN[/mm] gilt:
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> [mm]a^{b}=c^b \Rightarrow[/mm] a = c
> Wie beweise ich das? Geht das mit vollständiger
> Induktion? Kann man mit vollständiger Induktion nicht nur
> Gleichungen beweisen?
Was darfst du für den Beweis verwenden?
Für [mm] b\in\IN [/mm] und x>0 ist z.B. die Funktion [mm] f(x)=x^b [/mm] injektiv.
Damit folgt aus f(a)=f(c) die Gültigkeit von a=c.
LG
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> P.S. Ja, eigentlich ist es ein Gegenbeweis.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Do 07.06.2012 | | Autor: | umbras |
Ich weiß nicht, was das heißt, was du geschrieben hast.^^
Ähm, Definitionen von Addition, Multiplikation und Exponentation. Und Assoziativ-, Distributiv- und Kommutativgesetz.
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Hallo umbras,
> Ich weiß nicht, was das heißt, was du geschrieben
> hast.^^
Schade. kamaleontis Weg ist der einfachste.
> Ähm, Definitionen von Addition, Multiplikation und
> Exponentation. Und Assoziativ-, Distributiv- und
> Kommutativgesetz.
Das ist nicht viel. Dann versuch mal, c=a+d zu setzen und dann zu zeigen, dass d=0 sein muss. Dazu brauchst Du die binomischen Regeln (samt Binomialkoeffizienten) eigentlich nicht.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hattet ihr in der Vorlesung schon die Kürzungsregel für die Multiplikation oder die Addition natürlicher Zahlen bewiesen? Also z. B.:
$a*c=b*c [mm] \Rightarrow [/mm] a=b$ für alle natürlichen Zahlen [mm] $a,\,b,\,c$?
[/mm]
(Dies gilt nur, wenn die natürlichen Zahlen mit $1$ anfangen, für $c=0$ gilt das nicht).
Der Beweis für die Exponentiation wäre sehr ähnlich. Im Induktionsbeweis über $c$ müßtest Du im Induktionsanfang zeigen:
Aus [mm] $a^1=b^1$ [/mm] folgt $a=b$. Dabei benutzt Du die rekursive Definition der Exponentiation.
Im Induktionsschritt mußt Du zeigen:
Aus [mm] $a^{c+1}=b^{c+1}$ [/mm] folgt $a=b$. Auch hier benutzt Du die rekursive Definition der Exponentiation und die Kürzungsregel für die Multiplikation.
Viel Erfolg,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:42 Fr 08.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Wie wärs damit:
Zeige mit Induktion nach n:
aus a<c folgt [mm] a^n
FRED
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