Kürzen rückgängig < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Di 07.06.2016 | | Autor: | T0M86 |
Hallo, gibt es einen Trick wie man von einem gekürzten/zusammengefassten Bruch auf die ursprüngliche Form kommt.
z.B. von 10/p²+p+9p auf die Form 1/p * 1/(1+1/10p)
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo, gibt es einen Trick wie man von einem
> gekürzten/zusammengefassten Bruch auf die ursprüngliche
> Form kommt.
>
> z.B. von 10/p²+p+9p auf die Form 1/p * 1/(1+1/10p) ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
So wie ich das sehe, stimmt diese Gleichung gar nicht !
Setze zuerst mal korrekt die Klammern, die notwendig wären !
> Danke
Guten Abend TOM86
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
so einen "Trick", der jeweils eindeutig den ursprüng-
lichen Term zurückgeben würde, kann es ganz grundsätzlich
nicht geben.
Mach dir das etwa an einem ganz einfachen Zahlenbeispiel
klar.
[mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ist ein gekürzter Bruch, der durch Kürzen
aus unendlich vielen Brüchen wie etwa [mm] $\frac{3}{6}\ [/mm] ,\ [mm] \frac{27}{54}\ [/mm] ,\ [mm] \frac{0.83}{1.66}\ [/mm] ,\ etc.$
entstanden sein kann. Also kann man logischerweise nicht
herausfinden, welches der ungekürzte Bruch wirklich war.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Mi 08.06.2016 | | Autor: | T0M86 |
Entschuldigung, ich hatte die Aufgabe falsch eingestellt. Die Rechnung lautet:
10/p²+p+10p = 1/p * 1/(1+1/10p)
Ziel der Aufgabe ist es die Standardform eines Reglers zu ermitteln.
Tp/1+Tp
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Mi 08.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Entschuldigung, ich hatte die Aufgabe falsch eingestellt.
> Die Rechnung lautet:
>
> 10/p²+p+10p = 1/p * 1/(1+1/10p)
Da stimmt etwas nicht !
Kläre zunächst ob es links
[mm] $\bruch{10}{p^2}+p+10p$
[/mm]
lauten soll oder
[mm] $\bruch{10}{p^2+p+10p}$
[/mm]
FRED
>
> Ziel der Aufgabe ist es die Standardform eines Reglers zu
> ermitteln.
>
> Tp/1+Tp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Mi 08.06.2016 | | Autor: | T0M86 |
Es soll so lauten:
>
> [mm]\bruch{10}{p^2+p+10p}[/mm]
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Mi 08.06.2016 | | Autor: | Jule2 |
Hi,
kannst ja mal nach Partialbruchzerlegung googeln!!
LG
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> Es soll so lauten:
> >
> > [mm]\bruch{10}{p^2+p+10p}[/mm]
> >
> >
Nanu, anfangs waren es doch [mm] \bruch{10}{p^2+p+9p} [/mm] = [mm] \bruch{10}{p^2+10p}, [/mm] jetzt sind es auf einmal
[mm] \bruch{10}{p^2+p+10p} [/mm] = [mm] \bruch{10}{p^2+11p}?
[/mm]
Ja, was denn nun?
Du willst das Ganze umformen zu [mm]\bruch{Tp}{1+Tp}[/mm], wobei ich davon ausgehe, dass es nicht [mm] T_P, [/mm] sondern T*P heißt.
Das bedeutet, dass du zunächst mal den Zähler im Nenner suchst, denn beide willst du ja mit Tp identifizieren. Den findest du da aber nicht als Summand. Nun gibt es zwei Möglichkeiten:
-------------- Variante 1 ---------------
[mm] \bruch{10}{p^2+10p}=\bruch{1}{p}*\bruch{10}{p+10}
[/mm]
Das [mm] \bruch{1}{p} [/mm] kriegen wir nicht weg. Im 2. Term stört, dass dort p statt 1 steht. Deshalb kürzen wir so, dass p zu 1 wird, also Zähler und Nenner mit p:
[mm] \bruch{1}{p}*\bruch{10}{p+10}=\bruch{1}{p}*\bruch{\bruch{10}{p}}{1+\bruch{10}{p}}. [/mm] Dann ist [mm] \bruch{10}{p}=Tp [/mm] und damit [mm] T=\bruch{10}{p^2}:
[/mm]
...= [mm] \bruch{1}{p}*\bruch{\bruch{10}{p^2}*p}{1+\bruch{10}{p^2}*p}
[/mm]
Das [mm] \bruch{1}{p} [/mm] bleibt aber leider.
-------------- Variante 2 ---------------
[mm] \bruch{10}{p^2+10p}=\bruch{10}{p^2+10p-10+10}
[/mm]
Die 10 aus dem Zähler fehlt im Nenner, deshalb ziehen wir sie zuerst ab und dann wieder hinzu.
Wenn jetzt statt [mm] p^2+10p-10 [/mm] dort eine 1 stehen würde, wären wir fertig. Also kürzen wir jetzt mit [mm] p^2+10p-10:
[/mm]
[mm] \bruch{10}{p^2+10p}=\bruch{\bruch{10}{ p^2+10p-10}}{1+\bruch{10}{ p^2+10p-10}}. [/mm]
Dann ist [mm] \bruch{10}{ p^2+10p-10}=Tp [/mm] und damit [mm] T=\bruch{10}{ p^3+10p^2-10p}:
[/mm]
[mm] ...=\bruch{\bruch{10}{ p^3+10p^2-10p}*p}{1+\bruch{10}{ p^3+10p^2-10p}*p}.
[/mm]
Jetzt haben wir tatsächlich den Bruch komplett in die gewünschte Form gebracht, wobei bei beiden Varianten das T eine mehr oder weniger komplizierte Funktion von p ist.
---------------- Zusatz ---------------------
Jeder Bruch [mm] \bruch{r}{s} [/mm] mit [mm] r\ne [/mm] s kann in einen Bruch der Form [mm] \bruch{a}{1+a} [/mm] verwandelt werden!
[mm] \bruch{r}{s}=\bruch{r}{s-r+r}=\bruch{\bruch{r}{s-r}}{1+\bruch{r}{s-r}}=\bruch{a}{1+a}.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Mi 08.06.2016 | | Autor: | T0M86 |
Danke euch für eure Unterstützung, es hat mir schon etwas geholfen. Bei der Aufgabenstellung habe ich mich wirklich seltsam ausgedrückt. Hier nochmals die Aufgabe.
Eine Übertragungsfunktion GS = [mm] \bruch{G1*G2}{1+G1*G2*G3} [/mm] soll in eine passende Standardform umgewandelt werden.
GS = [mm] \bruch{10}{p(p+1)+9p} [/mm] durch einsetzen der vorgegebenen Werte, umgewandelt ergibt das dann = [mm] \bruch{10}{p^{2}+p+9p} [/mm]
Weiter umgewandelt wird daraus [mm] \bruch{1}{p} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(1+\bruch{1}{10}*p})
[/mm]
Es muss umgewandelt werden, da die Standardübertragungsfunktion ermittelt werden soll. In diesem Fall ist diese = [mm] \bruch{K}{(1+p*T)}.
[/mm]
[mm] \bruch{1}{p} [/mm] ist dann ein I-Glied mit [mm] \bruch{1}{T1*p}
[/mm]
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> Danke euch für eure Unterstützung, es hat mir schon etwas
> geholfen. Bei der Aufgabenstellung habe ich mich wirklich
> seltsam ausgedrückt. Hier nochmals die Aufgabe.
>
> Eine Übertragungsfunktion GS = [mm]\bruch{G1*G2}{1+G1*G2*G3}[/mm]
> soll in eine passende Standardform umgewandelt werden.
>
> GS = [mm]\bruch{10}{p(p+1)+9p}[/mm] durch einsetzen der vorgegebenen
> Werte, umgewandelt ergibt das dann =
> [mm]\bruch{10}{p^{2}+p+9p}[/mm]
Ich gehe mal davon aus, dass du GS richtig berechnet hast und dass die Darstellung mit [mm] G_1, G_2 [/mm] und [mm] G_3 [/mm] keine Rolle für die weiteren Betrachtungen spielt.
>
> Weiter umgewandelt wird daraus [mm]\bruch{1}{p}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{(1+\bruch{1}{10}*p})[/mm]
>
> Es muss umgewandelt werden, da die
> Standardübertragungsfunktion ermittelt werden soll. In
> diesem Fall ist diese = [mm]\bruch{K}{(1+p*T)}.[/mm]
>
Schön, dass du uns nicht mitteilst, ob z.B. T und K konstante Werte oder beliebige Funktionen sind.
Du kannst doch ganz einfach schreiben:
GS [mm] =\bruch{10}{p^2+10p}=\bruch{10}{1 + p^2+10p-1}= \bruch{10}{1 + (p+10-\bruch{1}{p})*p}
[/mm]
Dann ist K=10 und [mm] T=p+10-\bruch{1}{p}.
[/mm]
Falls aber K und T konstant sein sollen, ist die Darstellung nicht möglich. Aus
GS [mm] =\bruch{10}{p^2+10p}=\bruch{K}{1+Tp} [/mm] folgt
10+10Tp = [mm] Kp^2+10Kp, [/mm] und wenn p eine Variable und keine feste Zahl ist, steht links ein Polynom 1. Grades in p und rechts ein Polynom 2. Grades in p, die nicht identisch sein können.
Sagt man aber: GS [mm] =\bruch{10}{p^2+10p} =\bruch{1}{p}*\bruch{10}{p+10}=\bruch{1}{p}*\bruch{1}{1+\bruch{1}{10}*p}=\bruch{1}{p}*\bruch{K}{1+Tp},
[/mm]
so ist K=1 und T = [mm] \bruch{1}{10}.
[/mm]
Dann bleibt aber der Faktor [mm] \bruch{1}{p} [/mm] als Störenfried bestehen.
> [mm]\bruch{1}{p}[/mm] ist dann ein I-Glied mit [mm]\bruch{1}{T1*p}[/mm]
Heißt das: [mm] \bruch{1}{p}=\bruch{1}{T1*p} [/mm] ? und meinst du [mm] T_1 [/mm] statt T1?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Do 09.06.2016 | | Autor: | T0M86 |
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Anbei die Aufgabenstellung und die Lösung aus dem Skript.
K = ist die Konstante stationäre Verstärkung
T>0 = Zeitkonstante des Systems
Diese können sich aber trotzdem verändern oder nicht?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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