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Forum "Elektrotechnik" - Künstliche Nachbildung einer L
Künstliche Nachbildung einer L < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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Künstliche Nachbildung einer L: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:38 Do 04.10.2012
Autor: n0000b

Hallo,

ich beschäftige mich zur Zeit mit der Approximierung einer verlustlosen Leitung durch konzentrierte Bauelemente (Induktivitäten und Kapazitäten).
Dazu fand ich das Paper "ARTIFICIAL (LUMPED ELEMENT) TRANSMISSION LINE" (http://hibp.ecse.rpi.edu/~connor/education/Fields/lumpline.pdf) sehr interessant. Bis auf die letzten beiden Gleichungen habe ich es auch nachvollziehen können. Wie allerdings die vorletzte Gleichung
[mm] $V_n-V_{n+1}$ [/mm] zustande kommt kann ich mir nicht erklären. Kann es sein, dass diese so nicht stimmt und auch Indizes vertauscht wurden?

Gruß

n000000b

        
Bezug
Künstliche Nachbildung einer L: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 Do 04.10.2012
Autor: leduart

Hallo
die Gleichheit gilt nur ungefähr wegen [mm] \Theta [/mm] sehr klein.
vertauschte indizes seh ich nicht.
gruss leduart


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Künstliche Nachbildung einer L: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 Do 04.10.2012
Autor: n0000b

Ok, dann versuche ich dies nochmal mehr auseinanderzunehmen, damit wir uns dem Problem annähern und ich es nachvollziehen kann.


Ich würde anfangen die harmonische Spannungs-Lösung in die Kirchhoffsche Regel einzusetzen.
[mm] $V_n-V_{n+1}=V_{+}e^{j(\omega t-\theta n)}-V_{+}e^{j(\omega t-\theta (n+1))}=L\frac{dI_n}{dt}$ [/mm]


Als nächstes würde ich [mm] $I_n$ [/mm] mit der Stromharmonischen ersetzen


[mm] $I_n=I_+e^{j(\omega t-\theta n)}$ [/mm]

und dies ableiten nach $dt$

[mm] $L\frac{dI_n}{dt}=j\omega [/mm] LI_+ [mm] e^{j(\omega t - \theta n)}$ [/mm]

Nun komme ich aber nicht mit dem PDF auf einen Nenner.

Gruß

n000000b

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Künstliche Nachbildung einer L: Phasendifferenz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Fr 05.10.2012
Autor: Infinit

Hallo,
auf der linken Seite der Gleichung wurden beide e-Funktionen in eine Reihe entwickelt, die nach dem ersten Glied abgebrochen wurde, dann bleibt gerade die Phasendifferenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Segmenten übrig und diese Differenz wurde mit [mm] \theta [/mm] bezeichnet.
Viele Grüße,
Infinit


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Künstliche Nachbildung einer L: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:26 Mo 08.10.2012
Autor: n0000b

Hallo,

irgendwie habe ich es noch nicht ganz geschnallt. Die folgende Formel würde ich als Ausgangsgleichung behandeln.

[mm] $V_n-V_{n+1}=V_{+}e^{j(\omega t-\theta n)}-V_{+}e^{j(\omega t-\theta (n+1))}=L\frac{I_+e^{j(\omega t-\theta n)}}{dt}$ [/mm]

diese differenzieren ergibt

[mm] $V_n-V_{n+1}=V_{+}e^{j(\omega t-\theta n)}-V_{+}e^{j(\omega t-\theta (n+1))}=j\omega [/mm] LI_+ [mm] e^{j(\omega t - \theta n)}$ [/mm]

teilt man durch [mm] $e^{j(\omega t - \theta n)}$ [/mm] erhält man

[mm] $V_n-V_{n+1}=V_{+}-V_{+}e^{-j\theta}=j\omega [/mm] LI_+$

das entspricht aber nicht

[mm] $V_n-V_{n+1}=V_+e^{-j\theta n}-V_+e^{-j\theta (n+1)}=V_+e^{-j\theta n}(+j\theta )=j\omega LI_n$ [/mm]

wie im PDF geschrieben.

Kann mir dahingehend jemand helfen, da ich bisher mit den Antworten nichts anfangen konnte.

Gruß´

n0000b

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Künstliche Nachbildung einer L: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:20 Sa 13.10.2012
Autor: n0000b

Hallo,

kann mir jemand zu meiner vorigen Mitteilung helfen?

> Hallo,
>  
> irgendwie habe ich es noch nicht ganz geschnallt. Die
> folgende Formel würde ich als Ausgangsgleichung
> behandeln.
>  
> [mm]V_n-V_{n+1}=V_{+}e^{j(\omega t-\theta n)}-V_{+}e^{j(\omega t-\theta (n+1))}=L\frac{I_+e^{j(\omega t-\theta n)}}{dt}[/mm]
>
> diese differenzieren ergibt
>  
> [mm]V_n-V_{n+1}=V_{+}e^{j(\omega t-\theta n)}-V_{+}e^{j(\omega t-\theta (n+1))}=j\omega LI_+ e^{j(\omega t - \theta n)}[/mm]
>
> teilt man durch [mm]e^{j(\omega t - \theta n)}[/mm] erhält man
>  
> [mm]V_n-V_{n+1}=V_{+}-V_{+}e^{-j\theta}=j\omega LI_+[/mm]
>
> das entspricht aber nicht
>  
> [mm]V_n-V_{n+1}=V_+e^{-j\theta n}-V_+e^{-j\theta (n+1)}=V_+e^{-j\theta n}(+j\theta )=j\omega LI_n[/mm]
>  
> wie im PDF geschrieben.
>  
> Kann mir dahingehend jemand helfen, da ich bisher mit den
> Antworten nichts anfangen konnte.
>  

Gruß


Bezug
                                                
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Künstliche Nachbildung einer L: Näherung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:59 So 14.10.2012
Autor: Infinit

Hallo,
wie Leduart und ich schon schrieben, entsteht die linke Seite durch eine Näherung, die rechte Seite berücksichtigt den harmonischen Stromverlauf, daher die Darstellung mit [mm] j \omega [/mm].
Für die Phasenanteile links kann man schreiben nach der Näherung der e-Funktion durch einen absoluten und einen linearen Term:
[mm] e^{-j\theta_n} = 1 - j \theta_n [/mm] und für den zweiten Term
[mm] e^{-j\theta_{n+1}} = 1 - j \theta_{n+1} [/mm]
Beide Terme voneinander abgezogen liefert
[mm] 1 - j \theta_n - 1 + j \theta_{n+1} = j ( \theta_{n+1} - \theta_n}) = j \theta [/mm]
da in dem Papier die Phasendifferenz zwischen zwei aufeinanderfolgen Abschnitten mit [mm] \theta [/mm] bezeichnet wird (siehe vorletzte Seite im oberen Teil).

Viele Grüße,
Infinit


Bezug
                                                        
Bezug
Künstliche Nachbildung einer L: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:40 Mo 15.10.2012
Autor: n0000b


> Hallo,

Hallo

> wie Leduart und ich schon schrieben, entsteht die linke
> Seite durch eine Näherung, die rechte Seite
> berücksichtigt den harmonischen Stromverlauf, daher die
> Darstellung mit [mm]j \omega [/mm].

ich stoße mich nicht an [mm]j \omega [/mm], sondern an [mm] $I_n$, [/mm] meines erachtens müsste $I_+$ dort stehen.

> Für die Phasenanteile links kann man schreiben nach der
> Näherung der e-Funktion durch einen absoluten und einen
> linearen Term:
>  [mm]e^{-j\theta_n} = 1 - j \theta_n[/mm] und für den zweiten Term
>  [mm]e^{-j\theta_{n+1}} = 1 - j \theta_{n+1}[/mm]
> Beide Terme voneinander abgezogen liefert
>  [mm]1 - j \theta_n - 1 + j \theta_{n+1} = j ( \theta_{n+1} - \theta_n}) = j \theta[/mm]

Ok, diese Art der Näherung war mir nicht bewusst, erklärt aber nicht das Ergebnis im PDF von:
[mm] $V_n-V_{n+1}=V_+e^{-j\theta n}-V_+e^{-j\theta (n+1)}=V_+-->e^{-j\theta n}<--(+j\theta )=j\omega L-->I_n<--$ [/mm]

Nach meinem Verständnis, wie auch im vorherigen Post geschrieben, ergibt sich

[mm] $V_n-V_{n+1}=V_{+}-V_{+}e^{-j\theta}=j\omega [/mm] LI_+$

umgeschrieben

[mm] $V_n-V_{n+1}=V_{+}(1 [/mm] - [mm] e^{-j\theta})=j\omega [/mm] LI_+$

mit Deiner Näherung der e-Funktion bei kleinem [mm] \theta [/mm]

[mm] $V_n-V_{n+1}=V_{+}(1 [/mm] - (1 - [mm] j\theta))=j\omega [/mm] LI_+$

somit also

[mm] $V_n-V_{n+1}=V_{+}(j\theta)=j\omega [/mm] LI_+$


Das wäre meines Erachtens auch die richtige Lösung um

[mm] $Z_0 [/mm] = [mm] \frac{V_+}{I_+}$ [/mm] zu ermitteln.

> da in dem Papier die Phasendifferenz zwischen zwei
> aufeinanderfolgen Abschnitten mit [mm]\theta[/mm] bezeichnet wird
> (siehe vorletzte Seite im oberen Teil).

Das war bisher nicht mein Problem und hatte ich verstanden :-)


Könntet ihr ggf. nochmal meinen Lösungsweg nachvollziehen und ihn mir bestätigen oder berichtigen?

>  
> Viele Grüße,
> Infinit

Grüße

n0000b

Bezug
                                                                
Bezug
Künstliche Nachbildung einer L: Ein Typo
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:52 Di 16.10.2012
Autor: Infinit

Hallo n0000b,
jetzt habe ich Deine Bedenken erst richtig verstanden und ich muss Dir rechtgeben, da sollte wirklich ein [mm] I_+ [/mm] stehen, so wie es dann auch in der Berechnung der Impedanz auftaucht. Das scheint ein Druckfehler zu sein.
Viele Grüße,
Infinit


Bezug
                                                                        
Bezug
Künstliche Nachbildung einer L: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:18 Di 16.10.2012
Autor: n0000b

Ok, vielen Dank für Deine/Eure Hilfe.

Gruß

Bezug
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