Kubischer Spline < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:40 Mo 16.06.2014 | | Autor: | ttl |
| Aufgabe | Bestimmen Sie [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] , [mm] \gamma [/mm] , [mm] \delta \in \IR [/mm] so, dass die Funktion [mm] S_{\alpha , \beta , \gamma , \delta}: [/mm] [-1,2] -> [mm] \IR [/mm] definiert durch
[mm] S(t)=\begin{cases} (t+1)^{4} + \alpha (t-1)^4 +1 , & -1\leq t \leq 0 \\ -t^{3} -8\alpha t + \gamma, & 0 < t \leq 1 \\ \beta t^{3} + \delta t^{2} +14t -1, & 1 < t \leq 2\end{cases}
[/mm]
ein kubischer Spline bezüglich des Gitters [mm] \Delta [/mm] :={-1,0,1,2} ist |
Wir brauchen 4n Gleichung, um die Parameter zu bestimmen. 4 Unbekanten und n Abschnitte. In diesem Fall sind es 3 Abschnitte.
Also brauchen wir 12 Gleichungen. Dabei habe ich mich an diese ![[]](/images/popup.gif) Seite gehalten. D.h. ich habe die Anschlussbedingungen aufgestellt. Das waren 10 Gleichungen und danach braucht man 2 weitere Gleichungen.
Dafür habe ich dann Randbedingungen verwendet.
Leider scheint das irgendwie nicht zu funktionieren. Zumindest denke ich, dass das so nicht stimmen kann.
Hier zunächst einmal die Gleichungen. Dabei habe ich die Gleichung mit [mm] s_{1}, s_{2} [/mm] und [mm] s_{3} [/mm] durchnummeriert.
Anschlussbedingungen:
(1) Spline enthält Stützstellen
[mm] s_{1}(-1) [/mm] = [mm] 16\alpha [/mm] = -1
[mm] s_{1}(0) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] = -2
[mm] s_{2}(1) [/mm] = -1 [mm] -8\alpha +\gamma [/mm] <=> [mm] -8\alpha [/mm] + [mm] \gamma [/mm] = 1
[mm] s_{3}(2) [/mm] = [mm] 8\beta [/mm] + [mm] 4\delta [/mm] + 27 <=> [mm] 8\beta [/mm] + [mm] 4\delta [/mm] = -27
(2) Stetigkeit an Stützstellen
[mm] s_{1}(t) [/mm] = [mm] s_{2}(t), [/mm] für t = 0
=> [mm] \alpha [/mm] +2 = [mm] \gamma [/mm] <=> 2 = [mm] -\alpha +\gamma
[/mm]
[mm] s_{2}(t) [/mm] = [mm] s_{3}(t), [/mm] für t = 1
=> [mm] -1-8\alpha [/mm] + [mm] \gamma [/mm] = [mm] \beta +\delta [/mm] +13 <=> -14 = [mm] 8\alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] - [mm] \gamma +\delta
[/mm]
(3) Gleiche Steigung
[mm] s_{1}'(t) [/mm] = [mm] s_{2}'(t), [/mm] für t = 0
=> 4 - [mm] 4\alpha [/mm] = [mm] -8\alpha [/mm] <=> -1 = [mm] \alpha
[/mm]
[mm] s_{2}'(t) [/mm] = [mm] s_{3}'(t), [/mm] für t =1
=> [mm] -3-8\alpha [/mm] = [mm] 3\beta [/mm] + [mm] 2\delta [/mm] + 14 <=> -17 = [mm] 8\alpha [/mm] + [mm] 3\beta [/mm] + [mm] 2\delta
[/mm]
(4) Gleiche Krümmung
[mm] s_{1}''(t) [/mm] = [mm] s_{2}''(t), [/mm] für t = 0
=> 12 + [mm] 12\alpha [/mm] = 0 <=> [mm] \alpha [/mm] = -1
[mm] s_{2}''(t) [/mm] = [mm] s_{3}''(t), [/mm] für t = 1
=> -6 = [mm] 6\beta [/mm] + [mm] 2\delta
[/mm]
Nun habe ich noch zwei Randbedingungen hinzugefügt und zwar
(1) Natürliche Randbedingung
[mm] S''(t_{0}) [/mm] = 0 für [mm] t_{0} [/mm] = 0
S''(0) = [mm] \begin{cases} 12 + 12\alpha = 0 \\ 0 = 0 \\ 2\alpha \end{cases}
[/mm]
[mm] S''(t_{n}) [/mm] = 0 für [mm] t_{n} [/mm] = 2
S''(2) = [mm] \begin{cases} 108 + 12\alpha = 0 \\ -12 = 0, & \mbox{das kann nicht sein} \\ 12\beta + 2\delta = 0 \end{cases}
[/mm]
Ich habe mich wirklich an die Erklärung auf der angegebenen Seite gehalten. Jedoch gibt es zu viele Unstimmigkeiten. Der Wert von [mm] \alpha [/mm] ändert sich am Anfang durchgehend. Und am Anschluß sieht es genau so merkwürdig aus.
Könnte mir jemand dabei behilflich sein? Denn ich weiß nicht so recht weiter.
Gruß
ttl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:22 Di 17.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Bestimmen Sie [mm]\alpha[/mm] , [mm]\beta[/mm] , [mm]\gamma[/mm] , [mm]\delta \in \IR[/mm] so,
> dass die Funktion [mm]S_{\alpha , \beta , \gamma , \delta}:[/mm]
> [1,2] -> [mm]\IR[/mm]
Du meinst:
[mm] S_{\alpha , \beta , \gamma , \delta}\colon[-1,2]\to\IR.
[/mm]
> definiert durch
>
> [mm]S(t)=\begin{cases} (t+1)^{4} - \alpha (t-1)^4 +1 , & -1\leq t \leq 0 \\ -t^{3} -8\alpha t + \gamma, & 0 < t \leq 1 \\ \beta t^{3} + \delta t^{2} +14t -1, & 1 < t \leq 2\end{cases}[/mm]
>
> ein kubischer Spline bezüglich des Gitters [mm]\Delta[/mm]
> :={-1,0,1,2} ist
>
> Wir brauchen 4n Gleichung, um die Parameter zu bestimmen. 4
> Unbekanten und n Abschnitte. In diesem Fall sind es 3
> Abschnitte.
> Also brauchen wir 12 Gleichungen. Dabei habe ich mich an
> diese
> Seite
> gehalten. D.h. ich habe die Anschlussbedingungen
> aufgestellt. Das waren 10 Gleichungen und danach braucht
> man 2 weitere Gleichungen.
> Dafür habe ich dann Randbedingungen verwendet.
>
> Leider scheint das irgendwie nicht zu funktionieren.
> Zumindest denke ich, dass das so nicht stimmen kann.
>
> Hier zunächst einmal die Gleichungen. Dabei habe ich die
> Gleichung mit [mm]s_{1}, s_{2}[/mm] und [mm]s_{3}[/mm] durchnummeriert.
>
> Anschlussbedingungen:
>
> (1) Spline enthält Stützstellen
>
> [mm]s_{1}(-1)[/mm] = [mm]16\alpha[/mm] = -1
> [mm]s_{1}(0)[/mm] = [mm]\alpha[/mm] = -2
Vorzeichenfehler. Es gilt:
[mm] s_1(0)=(0+1)^4-\alpha(0-1)^4+1=1-\alpha*1+1=2-\alpha
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\alpha=2\$.
[/mm]
Damit folgenden dann die weiteren Fehler, die du sicher
schnell beheben wirst. Von der Idee ist das aber richtig.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Mi 18.06.2014 | | Autor: | ttl |
Hi,
richtig. Es müsste [-1,2] heißen. Ich habe es so weit verbessert.
Danke für den Hinweis. Das wäre wir vermutlich nicht aufgefallen.
Aber ich hätte trotzde noch ein paar Fragen und ich würde mich freuen, falls du mir dabei helfen könntest.
Aus [mm] s_{1}(0) [/mm] geht hervor, dass [mm] \alpha [/mm] = 2 ist. Wenn ich jedoch für [mm] s_{1}(-1) [/mm] einsetze, müsste dann nicht dasselbe rauskommen?
Im Moment bekomme ich für [mm] s_{1}(-1) [/mm] => [mm] \alpha [/mm] = [mm] -\frac{1}{16}. [/mm]
Ausformuliert: [mm] s_{1}(-1) [/mm] = [mm] (-1+1)^4 [/mm] + [mm] \alpha (-1-1)^{4} [/mm] + 1 = [mm] \alpha (-2)^{4} [/mm] + 1 = [mm] 16\alpha [/mm] +1 => [mm] \alpha [/mm] = [mm] -\frac{1}{16}
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] habe ich folgendermaßen berechnet. Dabei habe ich für [mm] \alpha [/mm] = 2 verwendet.
[mm] s_{2}(1) [/mm] = [mm] -(1)^{3} [/mm] -16 -1 [mm] \gamma [/mm] = -1 -16 + [mm] \gamma [/mm] = -17 + [mm] \gamma [/mm] => [mm] \gamma [/mm] = 17
Um [mm] \beta [/mm] und [mm] \delta [/mm] zu berechnen bin ich folgendermaßen vorgegangen.
[mm] s_{3}(2) [/mm] = [mm] 8\beta [/mm] + [mm] 4\delta [/mm] + 28-1 = [mm] 8\beta [/mm] + [mm] 4\delta [/mm] + 27 => [mm] 8\beta [/mm] + [mm] 4\delta [/mm] = -27
[mm] s_{2}(1) [/mm] = [mm] s_{3}(1)
[/mm]
-1-16+17 = [mm] \beta [/mm] + [mm] \delta [/mm] +14 -1
0 = [mm] \beta [/mm] + [mm] \delta+13 [/mm] => -13 = [mm] \beta [/mm] + [mm] \delta
[/mm]
Nun konnte man ein LGS mit zwei unbekannten aufstellen und das LGS lösen.
Wenn das alles klappen sollte, warum braucht man denn so viele Gleichungen aufzustellen, wenn das ganze doch auch mit weniger Gleichungen geht?
Gruß
ttl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Mi 18.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Aber ich hätte trotzde noch ein paar Fragen und ich würde
> mich freuen, falls du mir dabei helfen könntest.
Bitte stelle deine Fragen auch als Fragen und nicht als
Mitteilungen, denn es kann passieren, dass deine Fragen
sonst untergehen.
> Aus [mm]s_{1}(0)[/mm] geht hervor, dass [mm]\alpha[/mm] = 2 ist. Wenn ich
> jedoch für [mm]s_{1}(-1)[/mm] einsetze, müsste dann nicht dasselbe
> rauskommen?
Nein, der Spline ist nur dann eindeutig bestimmt, falls
mindestens eine Randbedingung erfüllt ist.
> Im Moment bekomme ich für [mm]s_{1}(-1)[/mm] => [mm]\alpha[/mm] =
> [mm]-\frac{1}{16}.[/mm]
> Ausformuliert: [mm]s_{1}(-1)[/mm] = [mm](-1+1)^4[/mm] + [mm]\alpha (-1-1)^{4}[/mm] +
> 1 = [mm]\alpha (-2)^{4}[/mm] + 1 = [mm]16\alpha[/mm] +1 => [mm]\alpha[/mm] =
> [mm]-\frac{1}{16}[/mm]
Wieder ein Vorzeichenfehler! Es gilt:
[mm] s_1(-1)=(-1+1)^4-\alpha(-1-1)^4+1=0-\alpha(-2)^4+1=-16\alpha+1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha=\frac{1}{16}.
[/mm]
> [mm]\gamma[/mm] habe ich folgendermaßen berechnet. Dabei habe ich
> für [mm]\alpha[/mm] = 2 verwendet.
>
> [mm]s_{2}(1)[/mm] = [mm]-(1)^{3}[/mm] -16 -1 [mm]\gamma[/mm] =
Woher kommt das Minuszeichen vor dem Gamma?
> -1 -16 + [mm]\gamma[/mm] = -17 +
> [mm]\gamma[/mm] => [mm]\gamma[/mm] = 17
Richtig.
> Um [mm]\beta[/mm] und [mm]\delta[/mm] zu berechnen bin ich folgendermaßen
> vorgegangen.
>
> [mm]s_{3}(2)[/mm] = [mm]8\beta[/mm] + [mm]4\delta[/mm] + 28-1 = [mm]8\beta[/mm] + [mm]4\delta[/mm] + 27
> => [mm]8\beta[/mm] + [mm]4\delta[/mm] = -27
Richtig.
> [mm]s_{2}(1)[/mm] = [mm]s_{3}(1)[/mm]
> -1-16+17 = [mm]\beta[/mm] + [mm]\delta[/mm] +14 -1
> 0 = [mm]\beta[/mm] + [mm]\delta+13[/mm] => -13 = [mm]\beta[/mm] + [mm]\delta[/mm]
[mm] $s_3(t)\$ [/mm] ist für [mm] $t=1\$ [/mm] nicht definiert!
> Nun konnte man ein LGS mit zwei unbekannten aufstellen und
> das LGS lösen.
>
> Wenn das alles klappen sollte, warum braucht man denn so
> viele Gleichungen aufzustellen, wenn das ganze doch auch
> mit weniger Gleichungen geht?
Das ist hier ein etwas langweilige Aufgabe, denn es geht
hier nicht um einen eindeutigen Spline und es sind unter
Anderem auch keine Stützstellen gegeben. Du wirst sicher
im Verlauf deiner Vorlesung noch deinen angegebenen Fahr-
plan benutzen müssen, aber hier benötigst du das nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Do 19.06.2014 | | Autor: | ttl |
Hi,
ich habe das Verfahren nochmal neu angewendet. Das Ergebnis sieht folgendermaßen aus:
[mm] s_{1}(t) [/mm] = [mm] (t+1)^{4} [/mm] + [mm] \alpha (t-1)^4 [/mm] +1
[mm] s_{2}(t) [/mm] = [mm] -t^{3} [/mm] - [mm] 8\alpha [/mm] *t + [mm] \gamma
[/mm]
[mm] s_{3}(t) [/mm] = [mm] \beta [/mm] * [mm] t^{3} [/mm] + [mm] \delta [/mm] * [mm] t^{2} [/mm] + 14t -1
wobei [mm] t_{0} [/mm] = -1, [mm] t_{1} [/mm] = 0, [mm] t_{2} [/mm] = 1, [mm] t_{3}=3
[/mm]
[mm] s_{1}(0) [/mm] = [mm] (0+1)^4 [/mm] + [mm] \alpha [/mm] ( [mm] 0-1)^4 [/mm] +1 = 1 [mm] -\alpha [/mm] +1 = 2 [mm] -\alpha [/mm] => [mm] \alpha [/mm] = 2
Anschlussstellen [mm] t_{j}, [/mm] j = 1,2
[mm] s_{j}(t_{j}) [/mm] = [mm] s_{j+1}(t_{j})
[/mm]
[mm] s_{j}'(t_{j}) [/mm] = [mm] s_{j+1}'(t_{j})
[/mm]
[mm] s_{j}''(t_{j})= s_{j+1}''(t_{j})
[/mm]
[mm] s_{1}' [/mm] (t) = [mm] 4(t+1)^3 [/mm] + [mm] 4\alpha (t-1)^3 s_{1}''(t) [/mm] = [mm] 12(t+1)^2 [/mm] + [mm] 12\alpha (t-1)^2
[/mm]
[mm] s_{2}'(t) [/mm] = [mm] -3t^{2} [/mm] - [mm] 8\alpha s_{2}''(t) [/mm] = -6t
[mm] s_{3}'(t) [/mm] = [mm] 3\beta*t^{2} [/mm] + [mm] 2\delta*t [/mm] + 14 [mm] s_{3}''(t) [/mm] = [mm] 6\beta*t [/mm] + [mm] 2\delta
[/mm]
j = 1
[mm] s_{1}(t_{1}) [/mm] = [mm] s_{2}(t_{1}) [/mm] <=> [mm] s_{1}(0) [/mm] = [mm] s_{2}(0) [/mm] <=>
[mm] 1^4 [/mm] + [mm] 2(-1)^4 [/mm] + 1 = [mm] \gamma [/mm] <=> 1+2+1 = [mm] \gamma [/mm] => [mm] \gamma [/mm] = 4
j = 2
[mm] s_{2}(t_{2}) [/mm] = [mm] s_{3}(t_{2}) [/mm] <=> [mm] s_{2}(1) [/mm] = [mm] s_{3}(1) [/mm] <=> -1 -16 + 4 = [mm] \beta [/mm] + [mm] \delta [/mm] + 13
<=> -26 = [mm] \beta [/mm] + [mm] \delta
[/mm]
[mm] s_{2}'(t_{2}) [/mm] = [mm] s_{3}'(t_{3}) [/mm] <=> [mm] s_{2}'(1) [/mm] = [mm] s_{3}'(1) [/mm] <=> -3 -16 = [mm] 3\beta [/mm] + [mm] 2\delta [/mm] +14
<=> -33 = [mm] 3\beta [/mm] + [mm] 2\delta
[/mm]
=> [mm] \beta [/mm] = 19, [mm] \delta [/mm] = -45
Ich habe es auch eingesetzt und es passt auch an den Stützstellen, sprich an den Übergängen.
Das gute daran ist, dass man ganze Zahlen rauskriegt und keine merkwürdigen Brüche.
Was hältst du so weit davon?
Gruß
ttl
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Hallo ttl,
> Hi,
>
> ich habe das Verfahren nochmal neu angewendet. Das Ergebnis
> sieht folgendermaßen aus:
>
> [mm]s_{1}(t)[/mm] = [mm](t+1)^{4}[/mm] + [mm]\alpha (t-1)^4[/mm] +1
s1(t) lautet doch:
[mm]s_{1}(t) = (t+1)^{4} \blue{-}\alpha (t-1)^4 +1[/mm]
> [mm]s_{2}(t)[/mm] = [mm]-t^{3}[/mm] - [mm]8\alpha[/mm] *t + [mm]\gamma[/mm]
> [mm]s_{3}(t)[/mm] = [mm]\beta[/mm] * [mm]t^{3}[/mm] + [mm]\delta[/mm] * [mm]t^{2}[/mm] + 14t -1
>
> wobei [mm]t_{0}[/mm] = -1, [mm]t_{1}[/mm] = 0, [mm]t_{2}[/mm] = 1, [mm]t_{3}=3[/mm]
>
> [mm]s_{1}(0)[/mm] = [mm](0+1)^4[/mm] + [mm]\alpha[/mm] ( [mm]0-1)^4[/mm] +1 = 1 [mm]-\alpha[/mm] +1 = 2
> [mm]-\alpha[/mm] => [mm]\alpha[/mm] = 2
>
> Anschlussstellen [mm]t_{j},[/mm] j = 1,2
> [mm]s_{j}(t_{j})[/mm] = [mm]s_{j+1}(t_{j})[/mm]
> [mm]s_{j}'(t_{j})[/mm] = [mm]s_{j+1}'(t_{j})[/mm]
> [mm]s_{j}''(t_{j})= s_{j+1}''(t_{j})[/mm]
>
> [mm]s_{1}'[/mm] (t) = [mm]4(t+1)^3[/mm] + [mm]4\alpha (t-1)^3 s_{1}''(t)[/mm] =
> [mm]12(t+1)^2[/mm] + [mm]12\alpha (t-1)^2[/mm]
> [mm]s_{2}'(t)[/mm] = [mm]-3t^{2}[/mm] - [mm]8\alpha s_{2}''(t)[/mm]
> = -6t
> [mm]s_{3}'(t)[/mm] = [mm]3\beta*t^{2}[/mm] + [mm]2\delta*t[/mm] + 14 [mm]s_{3}''(t)[/mm] =
> [mm]6\beta*t[/mm] + [mm]2\delta[/mm]
>
> j = 1
>
> [mm]s_{1}(t_{1})[/mm] = [mm]s_{2}(t_{1})[/mm] <=> [mm]s_{1}(0)[/mm] = [mm]s_{2}(0)[/mm] <=>
> [mm]1^4[/mm] + [mm]2(-1)^4[/mm] + 1 = [mm]\gamma[/mm] <=> 1+2+1 = [mm]\gamma[/mm] => [mm]\gamma[/mm] =
> 4
>
Das stimmt nicht.
> j = 2
>
> [mm]s_{2}(t_{2})[/mm] = [mm]s_{3}(t_{2})[/mm] <=> [mm]s_{2}(1)[/mm] = [mm]s_{3}(1)[/mm] <=> -1
> -16 + 4 = [mm]\beta[/mm] + [mm]\delta[/mm] + 13
> <=> -26 = [mm]\beta[/mm] + [mm]\delta[/mm]
>
> [mm]s_{2}'(t_{2})[/mm] = [mm]s_{3}'(t_{3})[/mm] <=> [mm]s_{2}'(1)[/mm] = [mm]s_{3}'(1)[/mm]
> <=> -3 -16 = [mm]3\beta[/mm] + [mm]2\delta[/mm] +14
> <=> -33 = [mm]3\beta[/mm] + [mm]2\delta[/mm]
>
> => [mm]\beta[/mm] = 19, [mm]\delta[/mm] = -45
>
> Ich habe es auch eingesetzt und es passt auch an den
> Stützstellen, sprich an den Übergängen.
>
> Das gute daran ist, dass man ganze Zahlen rauskriegt und
> keine merkwürdigen Brüche.
>
> Was hältst du so weit davon?
>
> Gruß
> ttl
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Fr 20.06.2014 | | Autor: | ttl |
Hi,
du hast recht. Ich weiß nicht wie mir dieser Fehler unterlaufen ist.
Ich habe es so weit verbessert.
Also [mm] \alpha [/mm] = 2. [mm] \gamma [/mm] = 0 für die Anschlussstelle j = 1 mit [mm] s_{1}(t_{1}) [/mm] = [mm] s_{2}(t_{1}) [/mm] <=> [mm] s_{1}(0) [/mm] = [mm] s_{2}(0) [/mm] <=> 1 -2 +1 = [mm] \gamma [/mm] => [mm] \gamma [/mm] = 0
Anschlussstelle j=2
[mm] s_{2}(t_{2}) [/mm] = [mm] s_{3}(t_{2}) [/mm] = [mm] s_{2}(1) [/mm] = [mm] s_{3}(1) [/mm] <=> -1-16 = [mm] \beta [/mm] + [mm] \delta [/mm] +13 <=> -30 = [mm] \beta [/mm] + [mm] \delta
[/mm]
[mm] s_{2}'(t_{2}) [/mm] = [mm] s_{3}'(t_{2}) [/mm] = [mm] s_{2}'(1) [/mm] = [mm] s_{3}'(1) [/mm] <=> -3 -16 = [mm] 3\beta +2\delta [/mm] +14 <=> -19 = [mm] 3\beta [/mm] + [mm] 2\delta [/mm] +14 <=> -33 = [mm] 3\beta +2\delta
[/mm]
=> [mm] \beta [/mm] = 27, [mm] \delta [/mm] = -57
Also, diesmal sollte es stimmen. Ich hab es mir angeschaut und konnte keine Fehler entdecken.
Gruß
ttl
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Hallo ttl,
> Hi,
>
> du hast recht. Ich weiß nicht wie mir dieser Fehler
> unterlaufen ist.
>
> Ich habe es so weit verbessert.
>
> Also [mm]\alpha[/mm] = 2. [mm]\gamma[/mm] = 0 für die Anschlussstelle j = 1
> mit [mm]s_{1}(t_{1})[/mm] = [mm]s_{2}(t_{1})[/mm] <=> [mm]s_{1}(0)[/mm] = [mm]s_{2}(0)[/mm] <=>
> 1 -2 +1 = [mm]\gamma[/mm] => [mm]\gamma[/mm] = 0
>
> Anschlussstelle j=2
>
> [mm]s_{2}(t_{2})[/mm] = [mm]s_{3}(t_{2})[/mm] = [mm]s_{2}(1)[/mm] = [mm]s_{3}(1)[/mm] <=>
> -1-16 = [mm]\beta[/mm] + [mm]\delta[/mm] +13 <=> -30 = [mm]\beta[/mm] + [mm]\delta[/mm]
> [mm]s_{2}'(t_{2})[/mm] = [mm]s_{3}'(t_{2})[/mm] = [mm]s_{2}'(1)[/mm] = [mm]s_{3}'(1)[/mm] <=>
> -3 -16 = [mm]3\beta +2\delta[/mm] +14 <=> -19 = [mm]3\beta[/mm] + [mm]2\delta[/mm] +14
> <=> -33 = [mm]3\beta +2\delta[/mm]
>
> => [mm]\beta[/mm] = 27, [mm]\delta[/mm] = -57
>
> Also, diesmal sollte es stimmen. Ich hab es mir angeschaut
> und konnte keine Fehler entdecken.
>
Ja, jetzt stimmt's.
Nur ist jetzt s1(t) ein Polynom 4.Grades.
Und das sollte bei einem kubischen Spline doch nicht sein:
> Gruß
> ttl
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Fr 20.06.2014 | | Autor: | ttl |
Hi MathePower,
du hast recht. Da kann ich aber nichts machen, oder? Weil [mm] s_{1}(t) [/mm] schon so gegeben ist.
Aber das ist ein wichtiger Punkt, denn bei kubischen Splines sollte es eine Funktion vom 3. Grad sein.
Gruß
ttl
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Hallo ttl,
> Hi MathePower,
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> du hast recht. Da kann ich aber nichts machen, oder? Weil
> [mm]s_{1}(t)[/mm] schon so gegeben ist.
>
[mm]\alpha[/mm] so bestimmen,
daß [mm]s_{1}\left(t\right)[/mm] ein kubisches Polynom ist.
> Aber das ist ein wichtiger Punkt, denn bei kubischen
> Splines sollte es eine Funktion vom 3. Grad sein.
>
> Gruß
> ttl
Gruss
MathePower
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> Bestimmen Sie [mm]\alpha[/mm] , [mm]\beta[/mm] , [mm]\gamma[/mm] , [mm]\delta \in \IR[/mm] so,
> dass die Funktion [mm]S_{\alpha , \beta , \gamma , \delta}:[/mm]
> [-1,2] -> [mm]\IR[/mm] definiert durch
>
> [mm]S(t)=\begin{cases} (t+1)^{4} - \alpha (t-1)^4 +1 , & -1\leq t \leq 0 \\ -t^{3} -8\alpha t + \gamma, & 0 < t \leq 1 \\ \beta t^{3} + \delta t^{2} +14t -1, & 1 < t \leq 2\end{cases}[/mm]
>
> ein kubischer Spline bezüglich des Gitters [mm]\Delta[/mm]
> :={-1,0,1,2} ist
>
>
> Wir brauchen 4n Gleichung, um die Parameter zu bestimmen. 4
> Unbekanten und n Abschnitte. In diesem Fall sind es 3
> Abschnitte.
> Also brauchen wir 12 Gleichungen. Dabei habe ich mich an
> diese
> Seite
> gehalten. D.h. ich habe die Anschlussbedingungen
> aufgestellt. Das waren 10 Gleichungen und danach braucht
> man 2 weitere Gleichungen.
> Dafür habe ich dann Randbedingungen verwendet.
>
> Leider scheint das irgendwie nicht zu funktionieren.
> Zumindest denke ich, dass das so nicht stimmen kann.
Hallo ttl,
mit dieser Vermutung hast du natürlich sehr recht !
Bedenke, dass du hier gar nicht die "Grundaufgabe" lösen
sollst, zu einer vorliegenden Folge von Punkten einen
Spline aufzustellen, sondern nur die, nachzuweisen, dass
eine vorgegebene, mit einigen Parametern versehene
Serie von 3 Funktionen über 3 Teilintervallen so angepasst
werden kann, dass insgesamt ein kubischer Spline entsteht.
Du hast also längst nicht so viele Unbekannte, wie du denkst,
sondern nur so viele, wie es eben freie Parameter gibt, also 4
Stück !
Dann brauchen wir auch nur 4 Gleichungen (und hoffen, damit
auf ein eindeutig lösbares Gleichungssystem zu kommen).
Zuerst würde ich mich darum kümmern, dass alle Teilfunktionen
wirklich höchstens kubisch (Grad 3) werden. Dies ist zunächst
bei der ersten Teilfunktion nicht offensichtlich der Fall. Eine kleine
Überlegung dazu liefert aber dann schon den ersten Parameter-
wert [mm] \alpha [/mm] !
Damit ist dann diese erste Teilfunktion schon vollständig
bestimmt, und man kann z.B. S(-1), S(0), S'(0) berechnen.
In der zweiten Teilfunktion steckt nebst dem (schon bestimmten)
Parameter nur ein weiterer, nämlich [mm] \gamma [/mm] . Mach dir klar,
welche Bedingung du verwenden solltest, um diesen festzulegen.
Dann weiter zu den restlichen Bedingungen mit der dritten
Teilfunktion.
Es fragt sich dann noch, ob man die so zusammengebastelte
Funktion wirklich als "Spline" bezeichnen kann.
LG , Al-Chwarizmi
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| Aufgabe | Man bestimme die reellen Konstanten a, b, c, d und e so, dass die Funktion [mm] S(x)=\begin{cases} a + b(x + 2) + c(x + 2)² + d(x + 2)³, & -4\leq x \leq -2 \\ (x + 2)³ + ex² -2, & -2 \leg x \leq 0 \end{cases}
[/mm]
eine kubische Spline Interpolierende ist. |
Hallo!
Meine Angabe ist so ähnlich, deshalb hoffe ich ihr könnt auch mir helfen.
Leider komme ich nicht sehr weit, da ich nur 2 Gleichungen, aber 4 Unbekannte habe.
Ich habe mal so angefangen, dass ich -2 in die 2. Gleichung einsetze.
Dann bekomme ich (wenn ich mich nicht verrechnet hab) e = 0,5.
S2(x) = (x + 2)³ + ex² -2
S2(-2) = (-2 + 2)³ + e*-2² -2 = 4e - 2 -> e = 0,5
jetzt weiß ich leider nicht mehr weiter :(
habe in einem anderen Forum gesehen, dass jemand die Gleichungen einfach abgeleitet hat, bis nur noch eine unbekannte da war und dann das ganze eingesetzt hat, etwa so:
p(x) = a + b(x + 2) + c(x + 2)² + d(x + 2)³
p'(x) = 2c(x + 2) + 3d(x + 2)²
p"(x) = 6d(x + 2)
S1(-4) = 6d((-4) + 2) =0 ???
irgendwas stimmt hier nicht...
kann man das wirklich einfach so ableiten?
gibt es eine bessere/leichtere methode, wie ich auf die 4 unbekannten komme?
lg
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[mm] S(x)=\begin{cases} a + b(x + 2) + c(x + 2)² + d(x + 2)³, & -4\leq x \leq -2 \\ (x + 2)³ + ex² -2, & -2 \leq x \leq 0 \end{cases}
[/mm]
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Hallo schneeflocke11,
> Man bestimme die reellen Konstanten a, b, c, d und e so,
> dass die Funktion [mm]S(x)=\begin{cases} a + b(x + 2) + c(x + 2)² + d(x + 2)³, & -4\leq x \leq -2 \\ (x + 2)³ + ex² -2, & -2 \leg x \leq 0 \end{cases}[/mm]
>
> eine kubische Spline Interpolierende ist.
> Hallo!
>
> Meine Angabe ist so ähnlich, deshalb hoffe ich ihr könnt
> auch mir helfen.
> Leider komme ich nicht sehr weit, da ich nur 2
> Gleichungen, aber 4 Unbekannte habe.
>
> Ich habe mal so angefangen, dass ich -2 in die 2. Gleichung
> einsetze.
> Dann bekomme ich (wenn ich mich nicht verrechnet hab) e =
> 0,5.
>
> S2(x) = (x + 2)³ + ex² -2
> S2(-2) = (-2 + 2)³ + e*-2² -2 = 4e - 2 -> e = 0,5
>
> jetzt weiß ich leider nicht mehr weiter :(
> habe in einem anderen Forum gesehen, dass jemand die
> Gleichungen einfach abgeleitet hat, bis nur noch eine
> unbekannte da war und dann das ganze eingesetzt hat, etwa
> so:
>
> p(x) = a + b(x + 2) + c(x + 2)² + d(x + 2)³
> p'(x) = 2c(x + 2) + 3d(x + 2)²
> p"(x) = 6d(x + 2)
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]p(x) = a + b(x + 2) + c(x + 2)^{2} + d(x + 2)^{3}[/mm]
[mm]p'(x) = \red{b}+2c(x + 2) + 3d(x + 2)^{2}[/mm]
[mm]p"(x) = \red{2c}+6d(x + 2)[/mm]
Verwende für die Exponenten 2 bzw. 3
nie die 3. Belegung der Tasten 2 bzw. 3.
> S1(-4) = 6d((-4) + 2) =0 ???
>
> irgendwas stimmt hier nicht...
> kann man das wirklich einfach so ableiten?
> gibt es eine bessere/leichtere methode, wie ich auf die 4
> unbekannten komme?
>
Für die Interpolationsbedingungen siehe hier.
> lg
Gruss
MathePower
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>
> Hier muss es doch lauten:
>
> [mm]p(x) = a + b(x + 2) + c(x + 2)^{2} + d(x + 2)^{3}[/mm]
> [mm]p'(x) = \red{b}+2c(x + 2) + 3d(x + 2)^{2}[/mm]
>
> [mm]p"(x) = \red{2c}+6d(x + 2)[/mm]
>
Ja stimmt, danke :)
>
> Verwende für die Exponenten 2 bzw. 3
> nie die 3. Belegung der Tasten 2 bzw. 3.
>
OK
>
> Für die Interpolationsbedingungen siehe
> hier.
werde leider nicht ganz schlau aus diesem Artikel :(
Da die Ableitungen der Gleichungen jetzt richtig sind, könnte ich doch so weiterrechnen wie vorher erklärt? oder stimmt das nicht?
also p"(-4) einsetzen, dann hab ich c = 6d, das setze ich in p'(-4) usw.
lg
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Hallo schneeflocke11,
> >
> > Hier muss es doch lauten:
> >
> > [mm]p(x) = a + b(x + 2) + c(x + 2)^{2} + d(x + 2)^{3}[/mm]
> >
> [mm]p'(x) = \red{b}+2c(x + 2) + 3d(x + 2)^{2}[/mm]
> >
> > [mm]p"(x) = \red{2c}+6d(x + 2)[/mm]
> >
>
> Ja stimmt, danke :)
>
> >
> > Verwende für die Exponenten 2 bzw. 3
> > nie die 3. Belegung der Tasten 2 bzw. 3.
> >
>
> OK
>
> >
> > Für die Interpolationsbedingungen siehe
> >
> hier.
>
> werde leider nicht ganz schlau aus diesem Artikel :(
>
> Da die Ableitungen der Gleichungen jetzt richtig sind,
> könnte ich doch so weiterrechnen wie vorher erklärt? oder
> stimmt das nicht?
>
Im Prinzip Ja.
Für einen kubischen [mm]C^{2}[/mm]-Spline gelten folgende Bedingungsgleichungen:
(Übertragen auf diese Aufgabe)
[mm]S1\left(-4\right)=y_{0}[/mm]
[mm]S1\left(-2\right)=y_{1}[/mm]
[mm]S2\left(-2\right)=y_{1}[/mm]
[mm]S2\left(0\right)=y_{2}[/mm]
[mm]S1'\left(-2\right)=S2'\left(-2\right)[/mm]
[mm]S1''\left(-2\right)=S2''\left(-2\right)[/mm]
Damit sollten alle 5 Unbekannten bestimmbar sein.
Teile uns doch mit welche Bedingungen an diese
kubische Spline-Interpolierende gestellt werden.
> also p"(-4) einsetzen, dann hab ich c = 6d, das setze ich
> in p'(-4) usw.
>
> lg
>
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Man bestimme die reellen Konstanten a, b, c, d und e so, dass die Funktion
[mm] S(x)=\begin{cases} a + b(x + 2) + c(x + 2)² + d(x + 2)³, & -4\leq x \leq -2 \\ (x + 2)³ + ex² -2, & -2 \leq x \leq 0 \end{cases}
[/mm]
eine kubische Spline Interpolierende ist. |
> Hallo schneeflocke11,
>
> > >
> > > Hier muss es doch lauten:
> > >
> > > [mm]p(x) = a + b(x + 2) + c(x + 2)^{2} + d(x + 2)^{3}[/mm]
> > >
>
> > [mm]p'(x) = \red{b}+2c(x + 2) + 3d(x + 2)^{2}[/mm]
> > >
> > > [mm]p"(x) = \red{2c}+6d(x + 2)[/mm]
> > >
> >
> > Ja stimmt, danke :)
> >
> > >
> > > Verwende für die Exponenten 2 bzw. 3
> > > nie die 3. Belegung der Tasten 2 bzw. 3.
> > >
> >
> > OK
> >
> > >
> > > Für die Interpolationsbedingungen siehe
> > >
> >
> hier.
> >
> > werde leider nicht ganz schlau aus diesem Artikel :(
> >
> > Da die Ableitungen der Gleichungen jetzt richtig sind,
> > könnte ich doch so weiterrechnen wie vorher erklärt? oder
> > stimmt das nicht?
> >
>
>
> Im Prinzip Ja.
>
> Für einen kubischen [mm]C^{2}[/mm]-Spline gelten folgende
> Bedingungsgleichungen:
> (Übertragen auf diese Aufgabe)
>
> [mm]S1\left(-4\right)=y_{0}[/mm]
> [mm]S1\left(-2\right)=y_{1}[/mm]
>
> [mm]S2\left(-2\right)=y_{1}[/mm]
> [mm]S2\left(0\right)=y_{2}[/mm]
>
> [mm]S1'\left(-2\right)=S2'\left(-2\right)[/mm]
> [mm]S1''\left(-2\right)=S2''\left(-2\right)[/mm]
>
> Damit sollten alle 5 Unbekannten bestimmbar sein.
>
> Teile uns doch mit welche Bedingungen an diese
> kubische Spline-Interpolierende gestellt werden.
>
Ich habe leider keine weiteren Bedingungen als diese die eh schon in der Angabe stehen.
>
> > also p"(-4) einsetzen, dann hab ich c = 6d, das setze ich
> > in p'(-4) usw.
> >
> > lg
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 15.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Aufgabe | Bestimmen Sie [mm]\alpha[/mm] , [mm]\beta[/mm] , [mm]\gamma[/mm] , [mm]\delta \in \IR[/mm] so,
dass die Funktion [mm]S_{\alpha , \beta , \gamma , \delta}:\ [-1,2]\ ->\ \IR[/mm]
definiert durch
[mm]S(t)=\begin{cases} (t+1)^{4} - \alpha (t-1)^4 +1 , & -1\leq t \leq 0 \\ -t^{3} -8\alpha t + \gamma, & 0 < t \leq 1 \\ \beta t^{3} + \delta t^{2} +14t -1, & 1 < t \leq 2\end{cases}[/mm]
ein kubischer Spline bezüglich des Gitters [mm] \Delta:={-1,0,1,2} [/mm] ist |
Hallo ttl,
ich habe mir die Aufgabe noch einmal vorgenommen und
dabei gemerkt, dass da bestimmt in der Aufgabenstellung
selber ein ziemlich verhängnisvoller Fehler steckt.
Wenn man da nämlich nur das Wort "kubisch" rausstreicht,
ergibt sich eine perfekt und mit schönen Zahlen lösbare
Aufgabe !
Wenn man auf die Kubizität der ersten Teilfunktion verzichtet
(ich hatte vorgeschlagen, diese Bedingung als allererste zu
verwenden, um [mm] \alpha [/mm] zu bestimmen) und ganz einfach
verlangt, dass die beiden "Nahtstellen" bei t=0 und bei t=1
stetig und knickfrei sind, so funktioniert alles wunderbar.
Für [mm] \delta [/mm] erhalte ich z.B. den Wert -26 . Die übrigen Lösungen
möchte ich nicht gleich auch noch verraten.
Bleibt die Frage, wer das Wörtchen "kubisch" in die sonst
so perfekte Aufgabe reingeschmuggelt hat. War es ttl, sein
Skript oder gar der Dozent selber ??
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 So 22.06.2014 | | Autor: | ttl |
Hi,
ich habe in der Aufgabenstellung tatsächlich einen Fehler gemacht, und zwar ein Vorzeichenfehler.
[mm] s_{1}(t) [/mm] sollte lauten [mm] s_{1}(t) [/mm] = [mm] (t+1)^{4} \textbf{+} \alpha (t-1)^{4} [/mm] +1
Vorher stand im Grunde dasselbe, jedoch mit einem Vorzeichenfehler
[mm] s_{1}(t) [/mm] = [mm] (t+1)^{4} \textbf{-} \alpha (t-1)^{4} [/mm] +1
Oben in der Aufgabe steht nun alles korrekt drin.
"kubisch" steht in der Aufgabenstellung.
D.h. [mm] \alpha [/mm] = -2. Demzufolge ist [mm] \gamma [/mm] = 0
Aus
[mm] s_{2}(1) [/mm] = [mm] s_{3}(1) [/mm] => 2 = [mm] \beta [/mm] + [mm] \delta
[/mm]
und [mm] s_{2}'(1) [/mm] = [mm] s_{3}'(1) [/mm] => -1 = [mm] 3\beta [/mm] + [mm] 2\delta
[/mm]
=> [mm] \beta [/mm] = -5 und [mm] \delta [/mm] = 7
Tut mir leid wegen des Vorzeichenfehlers.
Gruß
ttl
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> Hi,
>
> ich habe in der Aufgabenstellung tatsächlich einen Fehler
> gemacht, und zwar ein Vorzeichenfehler.
>
> [mm]s_{1}(t)[/mm] sollte lauten [mm]s_{1}(t)[/mm] = [mm](t+1)^{4} \textbf{+} \alpha (t-1)^{4}[/mm]
> +1
>
> Vorher stand im Grunde dasselbe, jedoch mit einem
> Vorzeichenfehler
> [mm]s_{1}(t)[/mm] = [mm](t+1)^{4} \textbf{-} \alpha (t-1)^{4}[/mm] +1
>
> Oben in der Aufgabe steht nun alles korrekt drin.
>
> "kubisch" steht in der Aufgabenstellung.
>
> D.h. [mm]\alpha[/mm] = -2. Demzufolge ist [mm]\gamma[/mm] = 0
> Aus
> [mm]s_{2}(1)[/mm] = [mm]s_{3}(1)[/mm] => 2 = [mm]\beta[/mm] + [mm]\delta[/mm]
> und [mm]s_{2}'(1)[/mm] = [mm]s_{3}'(1)[/mm] => -1 = [mm]3\beta[/mm] + [mm]2\delta[/mm]
>
> => [mm]\beta[/mm] = -5 und [mm]\delta[/mm] = 7
>
> Tut mir leid wegen des Vorzeichenfehlers.
>
> Gruß
> ttl
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Hallo ttl,
ich habe die Werte, die du hier angibst, in die Funktionen
eingesetzt und festgestellt, dass damit hinten und vorne
überhaupt nichts passt.
Im Gegensatz dazu klappt es mit den ursprünglichen
Gleichungen und den Werten
[mm] \alpha [/mm] = -3 , [mm] \beta [/mm] = 9 , [mm] \gamma [/mm] = 5 , [mm] \delta [/mm] = -26
komplett. Aber eben mit der Tatsache, dass die erste
Teilfunktion nicht kubisch, sondern vierten Grades ist.
Das ist sie natürlich auch mit deinem neuen Wert [mm] \alpha=-2 [/mm] ,
ob du nun die alte oder die neue Version der Gleichungen
nimmst, also unabhängig von dem (angeblichen)
Vorzeichenfehler ...
Schönen Abend noch !
LG , Al-Chwarizmi
(Leider dauert die Verbindung mit dem Matheraum-Server
heute und in der Tat schon seit ein paar Tagen jeweils
eine halbe Ewigkeit. Warum ist mir rätselhaft. Vermutlich
werde ich aber heute nicht mehr versuchen, zu antworten)
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