Krümmung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Berechnen Sie die Krümmung eines Kreises mit Radius.
In Parameterform sieht das ja wie folgt aus:
r(t) = [mm] \vektor{r*cos(t) \\ r*sin(t) \\ 0}
[/mm]
In die dritte Komponente setze ich eine Null, damit ich eine Raumkurve erhalte
v(t) = [mm] \vektor{-r*sin(t) \\ r*cos(t) \\ 0} [/mm]
at) = [mm] \vektor{-r*cos(t) \\ -r*sin(t) \\ 0}
[/mm]
krümmung = [mm] \bruch{|v(t) x a(t)|}{|v(t)|^3}
[/mm]
v(t) x a(t) = [mm] r^2 [/mm] * [mm] sin^2 [/mm] (t) + [mm] r^2 [/mm] * [mm] cos^2 [/mm] (t) = [mm] r^2 [/mm] * [mm] (cos^2(t) [/mm] + [mm] sin^2 [/mm] ) = [mm] r^2
[/mm]
|v(t) x a(t)| = r
|v(t) | = [mm] \wurzel{r^2 * sin^ (t) + r^2 * cos^ (t)} [/mm] = r
|v(t) [mm] |^3 [/mm] = [mm] r^3
[/mm]
Krümmung = [mm] \bruch{|v(t) x a(t)| }{|v(t) |^3 } [/mm] = [mm] \bruch{r}{r^3} [/mm] = ..
Wa smache ich falsch? Sollte nämlich Krümmung = [mm] \bruch{1}{r} [/mm] geben
Danke, gruss Kuriger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Sigma |
> v(t) x a(t) = [mm]r^2[/mm] * [mm]sin^2[/mm] (t) + [mm]r^2[/mm] * [mm]cos^2[/mm] (t) = [mm]r^2[/mm] *
> [mm](cos^2(t)[/mm] + [mm]sin^2[/mm] ) = [mm]r^2[/mm]
Schreib zuerstmal das Kreuzprodukt mathematisch korrekt auf.
Hier liegt dein Fehler, was ist nochmal die euklidische Norm von [mm] $\|v(t) \times a(t)\|_2 =\|\vektor{0-0 \\ 0-0\\r^2}\|_2$?
[/mm]
> |v(t) x a(t)| = r
>
> |v(t) | = [mm]\wurzel{r^2 * sin^ (t) + r^2 * cos^ (t)}[/mm] = r
> |v(t) [mm]|^3[/mm] = [mm]r^3[/mm]
>
> Krümmung = [mm]\bruch{|v(t) x a(t)| }{|v(t) |^3 }[/mm] =
> [mm]\bruch{r}{r^3}[/mm] = ..
>
> Wa smache ich falsch? Sollte nämlich Krümmung =
> [mm]\bruch{1}{r}[/mm] geben
>
> Danke, gruss Kuriger
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Sigma
Danke für die Hilfe
Momentan verstehe ich das leider nicht:
v(t) * a(t) = [mm] \vektor{-r\cdot{}sin(t) \\ r\cdot{}cos(t) \\ 0} [/mm] x [mm] \vektor{-r\cdot{}cos(t) \\ -r\cdot{}sin(t) \\ 0} [/mm] = [mm] r^2 [/mm] * [mm] sin^2(t) [/mm] + [mm] r^2 [/mm] * [mm] cos^2 [/mm] (t), der rest gibt ja null. oder was hast du gemacht? Hast du das r nachvorne genommen?
v(t) * a(t) = r* [mm] \vektor{-\cdot{}sin(t) \\ \cdot{}cos(t) \\ 0} [/mm] x [mm] r*\vektor{-\cdot{}cos(t) \\ -\cdot{}sin(t) \\ 0} [/mm] = [mm] r^2 [/mm] * [mm] sin^2(t) [/mm] + [mm] r^2 [/mm] * [mm] cos^2 [/mm] (t)
Wenn ja wie muss ich denn mit r umgehen?
Wäre dankbar wenn du mir nochmals helfen könntest
Danke, gruss Kuriger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Mi 03.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Sigma
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> Danke für die Hilfe
>
> Momentan verstehe ich das leider nicht:
>
> v(t) * a(t) = [mm]\vektor{-r\cdot{}sin(t) \\
r\cdot{}cos(t) \\
0}[/mm]
> x [mm]\vektor{-r\cdot{}cos(t) \\
-r\cdot{}sin(t) \\
0}[/mm] = [mm]r^2[/mm] *
> [mm]sin^2(t)[/mm] + [mm]r^2[/mm] * [mm]cos^2[/mm] (t), der rest gibt ja null. oder was
> hast du gemacht? Hast du das r nachvorne genommen?
>
Das ist einfach nur die Definition des Skalarproduktes.
Und beachte, dass in $ [mm] \|v(t) \times a(t)\|_2 =\|\vektor{0-0 \\ 0-0\\r^2}\|_2 [/mm] $ das Kreuzprodukt gemeint ist.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Sigma |
>v(t) * a(t) = [mm]\vektor{-r\cdot{}sin(t) \\ r\cdot{}cos(t) \\ 0}[/mm]
> x [mm]\vektor{-r\cdot{}cos(t) \\ -r\cdot{}sin(t) \\ 0}[/mm] = [mm][mm] r^2[/>mm] [/mm] *
> [mm]sin^2(t)[/mm] + [mm]r^2[/mm] * [mm]cos^2[/mm] (t), der rest gibt >ja null. oder was
> hast du gemacht? Hast du das r nachvorne genommen?
>
> Wenn ja wie muss ich denn mit r umgehen?
>
> Wäre dankbar wenn du mir nochmals helfen könntest
>
> Danke, gruss Kuriger
Du hast richtig gerechnet nur das Kreuzprodukt nicht korrekt aufgeschrieben. Das Ergebnis des Kreuzproduktes ist ein Vektor und nicht [mm] r^2.
[/mm]
$v(t) [mm] \times [/mm] a(t) = [mm] \vektor{-r\cdot{}sin(t) \\ r\cdot{}cos(t) \\ 0} \times \vektor{-r\cdot{}cos(t) \\ -r\cdot{}sin(t) \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0-0\\0-0\\ r^2 * \sin^2(t)+ r^2 *cos^2 (t)}=\vektor{0\\0\\r^2}$
[/mm]
Eingesetzt in die euklidische Norm ergibt.
[mm] $\|\vektor{0\\0\\r^2}\|_2=\wurzel{0^2+0^2+(r^2)^2}=r^2$
[/mm]
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Hallo Kuriger,
so wie ich meine, ist die Krümmung einer Kurve in einem
ihrer Punkte P ursprünglich definiert als der Kehrwert des
Radius des Krümmungskreises der Kurve in diesem Punkt
(der Krümmungskreis ist jener Kreis, der die Kurve in der
Umgebung von P am besten approximiert). Ist die Kurve
selber ein Kreis, so ist der Krümmungskreis natürlich mit
diesem identisch. Ein Kreis mit Radius r hat also in jedem
seiner Punkte den Krümmungswert (skalar betrachtet) [mm] \frac{1}{r} [/mm] .
Oder musst du von einer anderen (eventuell vektoriellen)
Definition ausgehen ?
LG Al-Chw.
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