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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Kritische Punkte finden
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Kritische Punkte finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:43 Do 17.01.2013
Autor: helicopter

Aufgabe
Bestimme in Abhängigkeit von [mm] \mu [/mm] > 0 alle lokalen Extrema der Funktion
f(x,y) = [mm] e^{xy} [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + [mm] \mu\cdot{}y^2 [/mm]

Hallo,
ich habe den Gradienten gebildet,
[mm] gradf(x,y)=(ye^{xy}+2x [/mm] , [mm] xe^{xy} +2y\mu) [/mm]

Der erste kritische Punkt (0,0) ist klar, ich komme aber leider nicht weiter.
ich habe das Gleichungssystem:
[mm] ye^{xy}+2x [/mm] = 0
[mm] xe^{xy} +2y\mu [/mm] = 0

die beiden Gleichungen habe ich mit x, bzw y multipliziert und voneinander abgezogen,
erhalte dann
[mm] 2x^{2}=2xy\mu \Rightarrow x=y\mu [/mm]

ab hier komme ich aber nicht weiter, könnte mir bitte jemand helfen?

Gruß

        
Bezug
Kritische Punkte finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 Do 17.01.2013
Autor: fred97


> Bestimme in Abhängigkeit von [mm]\mu[/mm] > 0 alle lokalen Extrema
> der Funktion
> f(x,y) = [mm]e^{xy}[/mm] + [mm]x^2[/mm] + [mm]\mu\cdot{}y^2[/mm]
>  Hallo,
> ich habe den Gradienten gebildet,
>  [mm]gradf(x,y)=(ye^{xy}+2x[/mm] , [mm]xe^{xy} +2y\mu)[/mm]
>  
> Der erste kritische Punkt (0,0) ist klar, ich komme aber
> leider nicht weiter.
>  ich habe das Gleichungssystem:
>  [mm]ye^{xy}+2x[/mm] = 0
>  [mm]xe^{xy} +2y\mu[/mm] = 0
>  
> die beiden Gleichungen habe ich mit x, bzw y multipliziert
> und voneinander abgezogen,
>  erhalte dann
> [mm]2x^{2}=2xy\mu \Rightarrow x=y\mu[/mm]




Edit: richtig lautet es: [mm]x^2=y^{2}\mu[/mm]

Was unten kommt kann vergessen werden.


Na, na, na, Vorsicht ! Du hast zunächst [mm] $x^2=xy \mu$ [/mm]

Fall 1: x=0. Aus der Gl.  [mm]ye^{xy}+2x[/mm] = 0 folgt dann y=0.

Fall 2: x [mm] \ne [/mm] 0. Jetzt kannst Du mit  [mm] $x=y\mu$ [/mm] kommen.

Dann ist [mm] $2x=2y\mu$ [/mm]

Setze das in [mm]xe^{xy} +2y\mu[/mm] = 0  ein und schau , was passiert.

FRED

>  
> ab hier komme ich aber nicht weiter, könnte mir bitte
> jemand helfen?
>  
> Gruß


Bezug
                
Bezug
Kritische Punkte finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Do 17.01.2013
Autor: helicopter

Hab da nen fehler drin, [mm] x=y^{2}\mu [/mm]

Wenn ich das nun einsetze hab ich dann:
[mm] xe^{xy}+2y\mu [/mm] = 0,
[mm] \mu{}y^{2}e^{y^3\mu}+2y\mu [/mm] = 0
[mm] \mu{}ye^{y^3\mu}+2\mu [/mm] = 0
[mm] \mu{}(ye^{y^3\mu}+2) [/mm] = 0

aber [mm] \mu [/mm] darf nicht 0 sein, und die e-Funktion wird nicht negativ. Irgendetwas mach ich falsch.

Gruß


Bezug
                        
Bezug
Kritische Punkte finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 Do 17.01.2013
Autor: fred97


> Hab da nen fehler drin,

Stimmt, und ich hab ihn nicht gesehen.



>  [mm]x=y^{2}\mu[/mm]

Das stimmt aber auch nicht.

Richtig:

[mm]x^2=y^{2}\mu[/mm]

FRED

>  
> Wenn ich das nun einsetze hab ich dann:
>  [mm]xe^{xy}+2y\mu[/mm] = 0,
> [mm]\mu{}y^{2}e^{y^3\mu}+2y\mu[/mm] = 0
>  [mm]\mu{}ye^{y^3\mu}+2\mu[/mm] = 0
>  [mm]\mu{}(ye^{y^3\mu}+2)[/mm] = 0
>  
> aber [mm]\mu[/mm] darf nicht 0 sein, und die e-Funktion wird nicht
> negativ. Irgendetwas mach ich falsch.
>  
> Gruß
>  


Bezug
                                
Bezug
Kritische Punkte finden: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:55 Do 17.01.2013
Autor: helicopter

Ich komm einfach nicht drauf :(

Bezug
                                        
Bezug
Kritische Punkte finden: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Sa 19.01.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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