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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Sa 18.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Für Vektoren x,y [mm] \in \IK^3 [/mm] wird ihr Kreuzprodukt x [mm] \times [/mm] y [mm] \in \IK^3 [/mm] durch
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \times \vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3} [/mm] := [mm] \vektor{x_2 y_3 - x_3 y_2\\ x_3 y_1 - x_1 y_3 \\ x_1 y_2 - x_2 y_1} [/mm]
Zeige dass gilt: JACOBI-Identität
(x [mm] \times [/mm] y) [mm] \times [/mm] z + (y [mm] \times [/mm] z ) [mm] \times [/mm] x + (z [mm] \times [/mm] x ) [mm] \times [/mm] y =0
Was wir schon nachgeprüft haben:
a)x [mm] \times [/mm] ( y + y' ) = x [mm] \times [/mm] y + x [mm] \times [/mm] y' und x [mm] \times(\lambda [/mm] y) = [mm] \lambda [/mm] (x [mm] \times [/mm] y)
b) (x + x') [mm] \times [/mm] y = x [mm] \times [/mm] y + x' [mm] \times [/mm] y und [mm] (\lambda [/mm] x) [mm] \times [/mm] y = [mm] \lambda [/mm] (x [mm] \times [/mm] y) |
Hallo,
Wir in der Übung haben das alle stupide eingesetzt und ausgerechnet, der Tutor machte uns aber darauf aufmerksam, dass es genügt für Basisvektoren nachzuprüfen.
Was wir dazu aufgeschrieben haben:
[mm] x_1 e_1 [/mm] + [mm] x_2 e_2 [/mm] + [mm] x_3 e_3 [/mm] = x
x [mm] \times [/mm] y = [mm] (x_1 e_1 [/mm] + [mm] x_2 e_2 [/mm] + [mm] x_3 e_3) \times [/mm] y
Verwendung von b) = [mm] x_1 e_1 \times [/mm] y + [mm] x_2 e_2 [/mm] y + [mm] x_3 e_3 \times [/mm] y
Nun kam man noch y ersetzen [mm] y=y_1 e_1 [/mm] + [mm] y_2 e_2 [/mm] + [mm] y_3 e_3 [/mm]
=>Für die Jacobiidentität die Fälle anschauen:
1)x=y=z= [mm] e_1
[/mm]
2) x= [mm] z=e_1 [/mm] , y = [mm] e_2
[/mm]
3) x= [mm] e_1, y=e_2, [/mm] z = [mm] e_3
[/mm]
dannach haben wir die Jacobiidentität für die 3 fälle nachgeprüft.
NUN MEINE FRAGE:
Wie kommt man genau auf diese 3 Fälle?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 So 19.08.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Für Vektoren x,y [mm]\in \IK^3[/mm] wird ihr Kreuzprodukt x [mm]\times[/mm]
> y [mm]\in \IK^3[/mm] durch
> [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \times \vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3}[/mm]
> := [mm]\vektor{x_2 y_3 - x_3 y_2\\ x_3 y_1 - x_1 y_3 \\ x_1 y_2 - x_2 y_1}[/mm]
> Zeige dass gilt: JACOBI-Identität
> (x [mm]\times[/mm] y) [mm]\times[/mm] z + (y [mm]\times[/mm] z ) [mm]\times[/mm] x + (z [mm]\times[/mm]
> x ) [mm]\times[/mm] y =0
> Was wir schon nachgeprüft haben:
> a)x [mm]\times[/mm] ( y + y' ) = x [mm]\times[/mm] y + x [mm]\times[/mm] y' und x
> [mm]\times(\lambda[/mm] y) = [mm]\lambda[/mm] (x [mm]\times[/mm] y)
> b) (x + x') [mm]\times[/mm] y = x [mm]\times[/mm] y + x' [mm]\times[/mm] y und
> [mm](\lambda[/mm] x) [mm]\times[/mm] y = [mm]\lambda[/mm] (x [mm]\times[/mm] y)
> Hallo,
> Wir in der Übung haben das alle stupide eingesetzt und
> ausgerechnet, der Tutor machte uns aber darauf aufmerksam,
> dass es genügt für Basisvektoren nachzuprüfen.
> Was wir dazu aufgeschrieben haben:
> [mm]x_1 e_1[/mm] + [mm]x_2 e_2[/mm] + [mm]x_3 e_3[/mm] = x
> x [mm]\times[/mm] y = [mm](x_1 e_1[/mm] + [mm]x_2 e_2[/mm] + [mm]x_3 e_3) \times[/mm] y
> Verwendung von b) = [mm]x_1 e_1 \times[/mm] y + [mm]x_2 e_2[/mm] y + [mm]x_3 e_3 \times[/mm]
> y
> Nun kam man noch y ersetzen [mm]y=y_1 e_1[/mm] + [mm]y_2 e_2[/mm] + [mm]y_3 e_3[/mm]
>
> =>Für die Jacobiidentität die Fälle anschauen:
> 1)x=y=z= [mm]e_1[/mm]
> 2) x= [mm]z=e_1[/mm] , y = [mm]e_2[/mm]
> 3) x= [mm]e_1, y=e_2,[/mm] z = [mm]e_3[/mm]
> dannach haben wir die Jacobiidentität für die 3 fälle
> nachgeprüft.
>
> NUN MEINE FRAGE:
> Wie kommt man genau auf diese 3 Fälle?
Die Fälle sind schlecht aufgeschrieben. Es geht um die drei Fälle:
1) Alle drei Vektoren sind gleich. Dann sind alle drei Summanden auf der linken Seite der Jacobi-Identität 0.
2) Zwei der drei Vektoren sind gleich, z.B. x=z. Dann ist der dritte Summand auf der linken Seite 0, es bleiben also
[mm] (x \times y) \times z + (y \times z ) \times x + (z \times x ) \times y = (x\times y)\times x + (y\times x)\times x = (x\times y)\times x - (x\times y)\times x=0 [/mm].
3) Alle drei Vektoren sind unterschiedlich. Es reicht, $x= [mm] e_1$, $y=e_2$, [/mm] $z = [mm] e_3$ [/mm] zu betrachten, denn alle anderen Anordnungen ergeben sich daraus durch Umsortieren der drei Summanden.
Viele Grüße
Rainer
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