Kreuzprodukt, Grassmann < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Di 17.05.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo.ich habe schon wieder ein Problem. Die Identität von Grassmann sieht ok aus. Aber das Beweisen ist nicht ok. Ich finde in den Büchenrn auch nicht so ausführliche beweis. Danke erstmal für alles.
[mm] a\times(b \times c)=\*b- \*c
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Di 17.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo NECO!
Offenbar ist die Gleichheit für $b=c$ richtig, denn dann verschwinden beide Seiten.
Also können wir $b [mm] \ne [/mm] c$ annehmen. Wegen der Bilinearität des Vektorprodukt genügt es die Identität für alle Basisvektoren [mm] $e_1$, $e_2$ [/mm] und [mm] $e_3$ [/mm] zu zeigen.
Im Fall $c = [mm] e_k \ne a=e_i \ne e_j= [/mm] b$ verschwinden wieder beide Seiten.
Es genügt also die Fälle [mm] $a=e_i=b \ne [/mm] c$ und [mm] $a=e_i=c \ne [/mm] b$ für $i=1,2,3$ zu untersuchen.
Und in diesen Fällen (die überlasse ich dir zur Überprüfung) gilt die Gleichheit auch.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:01 Mo 03.04.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallo Leute!
Hab den Beweis mit der Grassmann Identität auch mal versucht und wollte wissen, ob das so korrekt ist oder ich einige wichtige Detail unterschlagen habe.
Hier nun meine Lösung:(a [mm] \times [/mm] b) [mm] \times [/mm] c=(a [mm] \*c)b-(b \* [/mm] c)a
für a=b gilt die Gleichheit offensichtlich, da in diesem Fall :(a [mm] \times [/mm] b) =0
=(a [mm] \*c)b-(b \* [/mm] c)a
Sei nun o.B.d.A. [mm] a=e_{1}, [/mm] aufgrund der Linearität sind nur noch die Fälle [mm] b=e_{2} [/mm] und [mm] b=e_{3} [/mm] zu zeigen.
Fall 1: [mm] (e_{1} \times e_{2}) \times [/mm] c= [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \times [/mm] c= [mm] \vektor{-c2 \\ c1 \\ 0}auf [/mm] der linken Seite und auf der rechten Seite der Gleichung
[mm] (e_{1} \* [/mm] c) [mm] e_{2}-(e_{2} \* c)e_{1} =c1*e_{2}-c2*e_{1} =\vektor{-c2 \\ c1 \\ 0} [/mm] und analog das Ganze für [mm] b=e_{3}
[/mm]
Ist das okay so?
liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 06.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Di 17.05.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo. Ich muss ja auch noch das zeigen. Hier bin ich bisschen weiter gekommen. Grassmann können wir später beweisen.
[mm] ||v\times w||^{2}=||v ||^{2} \*||v ||^{2}-^{2}
[/mm]
Ich habe so versuchet:
[mm] ||v\times w||^{2}=(v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2})^{2}+(v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3})^{2}+(v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1})^{2}
[/mm]
ich kann ab hier nicht mehr umformen. Kannst du bitte helfen? Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Do 19.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Neco!
> Hallo. Ich muss ja auch noch das zeigen. Hier bin ich
> bisschen weiter gekommen. Grassmann können wir später
> beweisen.
>
> [mm]||v\times w||^{2}=||v ||^{2} \*||v ||^{2}-^{2}[/mm]
>
> Ich habe so versuchet:
> [mm]||v\times w||^{2}=(v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2})^{2}+(v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3})^{2}+(v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1})^{2}[/mm]
>
> ich kann ab hier nicht mehr umformen. Kannst du bitte
> helfen? Danke
Du musst nur die Binomischen Formeln kosequent anwenden, etwa so:
[mm] $(v_2w_3 [/mm] - [mm] v_3w_2)^2 [/mm] = [mm] v_2^2w_3^2-2v_2w_3v_3w_2 [/mm] + [mm] v_3^2w_2^2$.
[/mm]
Weiterhin rechnest du die rechte Seite aus:
[mm] $\Vert [/mm] v [mm] \Vert^2 \cdot \Vert [/mm] w [mm] \Vert^2 [/mm] = [mm] (v_1^2+v_2^2+v_3^2) \cdot (w_1^2 [/mm] + [mm] w_2^2+w_3^2)$.
[/mm]
und
[mm] $\langle [/mm] v,w [mm] \rangle^2 [/mm] = [mm] (v_1w_1 [/mm] + [mm] v_2w_2 [/mm] + [mm] v_3w_3)^2$.
[/mm]
Jetzt alles noch ausmultiplizieren und beide Seiten vergleichen... 
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Do 19.05.2005 | | Autor: | NECO |
Ok Lagrange ist mir klar. Ich habe es gerechnet. Mit dem binomische Formel war gute Idee.
Ich versuche seit 3 Tagen mit Grassmann klar zu kommen. Ich habe in den Büchern nachgeguckt. Ich finde keine Beweise.
Jetz muss ich noch das beweisen:
[mm] a\times(b \times c)=\*b- \*c [/mm]
Kann jemand mir hier helfen. Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Do 19.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Neco!
Hattest du das übersehen? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Viele Grüße
Julius
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