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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Mo 28.05.2007 | | Autor: | PaulP |
| Aufgabe | Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] \Phi_n(x) [/mm] das n-te Kreisteilungspolynom
Zu zeigen: für ungerade n [mm] \ge [/mm] 3 gilt:
[mm] \Phi_{2n}(x) [/mm] = [mm] \Phi_n(-x) [/mm] |
Also ich weiß, dass bei [mm] \Phi_{2n} [/mm] nur als zusätzlicher Faktor [mm] \Phi_2 [/mm] dazukommt, die anderen Primfaktoren bleiben ja dieselben.
Trotzdem komme ich nicht weiter, ich habe es auch per Induktion versucht, bin aber gescheitert.
Wie gehe ich dabei vor?
Danke!
Paul
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Mo 28.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Paul!
> Für n [mm]\in \IN[/mm] sei [mm]\Phi_n(x)[/mm] das n-te Kreisteilungspolynom
>
> Zu zeigen: für ungerade n [mm]\ge[/mm] 3 gilt:
> [mm]\Phi_{2n}(x)[/mm] = [mm]\Phi_n(-x)[/mm]
> Also ich weiß, dass bei [mm]\Phi_{2n}[/mm] nur als zusätzlicher
> Faktor [mm]\Phi_2[/mm] dazukommt, die anderen Primfaktoren bleiben
> ja dieselben.
>
> Trotzdem komme ich nicht weiter, ich habe es auch per
> Induktion versucht, bin aber gescheitert.
>
> Wie gehe ich dabei vor?
Das geht recht schnell direkt: und zwar ist [mm] $\Phi_n(x)$ [/mm] ja das Minimalpolynom einer $n$-ten primitiven Einheitswurzel ueber [mm] $\IQ$.
[/mm]
So. Wenn [mm] $\zeta \in \IC$ [/mm] jetzt eine primitive $n$-te Einheitswurzel ist und $n$ ungerade ist, dann zeige einfach, dass [mm] $-\zeta [/mm] = (-1) [mm] \zeta$ [/mm] eine primitive $2 n$-te Einheitswurzel ist. Daraus folgt dann sofort die Behauptung...
LG Felix
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Guten Tag, ich hab zu dieser Aufgabe mal ne Frage:
Wie genau folgt daraus die Behauptung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Sa 21.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Guten Tag, ich hab zu dieser Aufgabe mal ne Frage:
>
> Wie genau folgt daraus die Behauptung?
Etwas kombinieren musst du noch selber: wenn [mm] $\zeta$ [/mm] eine Nullstelle von [mm] $\Phi_n(x)$ [/mm] ist, wovon ist dann [mm] $-\zeta$ [/mm] eine Nullstelle?
LG Felix
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